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et je regarde $p$ et $q$ comme variables ; j’ai la transformée

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+z+\left({\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}-2{\frac {dq}{dt}}\right)\sin t+\left({\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+2{\frac {dp}{dt}}\right)\cos t+\Omega =0.$

Je fais $=0$ les termes affectés de $\sin t$ et de $\cos t,$ et d’où résulteraient des arcs de cercle dans l’intégrale, j’ai deux équations qui serviront à déterminer $p$ et $q\,;$ on peut étendre cette méthode à tant d’équations qu’on voudra et lui donner toute l’exactitude qu’on désirera. »

Cette méthode conduit à deux équations différentielles du second ordre entre $p$ et $q\,;$ mais on verra, avec un peu d’attention, que les termes ${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}$ et ${\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}$ sont d’un ordre moindre que ${\frac {dp}{dt}}$ et ${\frac {dq}{dt}},$ et qu’ainsi ils peuvent être négligés ; les équations différentielles du second ordre s’abaissent par là au premier ordre et rentrent dans celles que donne notre méthode.

II.

De l’équilibre des sphéroïdes homogènes.

Les géomètres qui se sont occupés de cet objet ont supposé au sphéroïde une figure déterminée, et ils ont cherché si l’équilibre pouvait subsister avec cette figure. Je me propose ici de résoudre le problème inverse et de chercher directement la figure qui convient à l’équilibre. Je ne fais d’autres suppositions que les deux suivantes : savoir, que le sphéroïde est un solide de révolution et qu’il diffère infiniment peu de la sphère. En partant de ces suppositions, je parviens à une équation différentielle très simple, mais d’un degré infini, et qui embrasse généralement toutes les figures qui conviennent à l’équilibre ; la figure elliptique satisfait visiblement à cette équation différentielle ; mais, quoique je démontre l’impossibilité de l’équilibre pour un très grand nombre de figures et que je n’en connaisse aucune autre que celle de l’ellipsoïde avec laquelle il soit possible, je n’ose cependant assurer qu’elle soit la seule. Il faudrait pour cela connaître en termes finis