Supposons maintenant que l’on propose de déterminer l’erreur que l’on peut commettre en faisant
lorsque l’on donne à
une très petite valeur
voici un moyen fort simple d’y parvenir.
Il faut intégrer d’abord
![{\displaystyle \int \left(1+{\frac {p+q}{p}}z\right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}z\right)^{q}dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62ab770ea96ec1983a3a99e07898fa5bc5c2444)
depuis
jusqu’à
Pour cela, je suppose que
soit l’intégrale entière depuis
jusqu’à
cette intégrale est visiblement trop grande pour l’objet que nous nous proposons ; il faut en retrancher l’intégrale
![{\displaystyle \int \left(1+{\frac {p+q}{p}}z\right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}z\right)^{q}dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62ab770ea96ec1983a3a99e07898fa5bc5c2444)
depuis
jusqu’à
soit
et l’on aura
![{\displaystyle \int \left(1+{\frac {p+q}{p}}z\right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}z\right)^{q}dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62ab770ea96ec1983a3a99e07898fa5bc5c2444)
![{\displaystyle =\left(1+{\frac {p+q}{p}}\omega \right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}\omega \right)^{q}\int e^{-{\frac {(p+q)^{3}\omega f-\ldots }{pq-\omega (pp-qq)-\omega ^{2}(p+q)^{2}}}}df.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5656b70fb2e8c569fcc984c7b2b52982b7cba7da)
J’observe que
doit, par ce qui précède, être supposé infiniment plus grand que
supposons
infiniment moindre que
afin de pouvoir négliger les termes affectés de
dans le développement de l’exposant de
et nous aurons
![{\displaystyle \int e^{-{\frac {(p+q)^{2}\omega f}{pq-\omega (pp-qq)-\omega ^{2}(p+q)^{2}}}}df}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0fe2907a37e4a65a49c27e85d2543e4fefa93c3)
![{\displaystyle ={\frac {pq-\omega (pp-qq)-\omega ^{2}(p+q)^{2}}{(p+q)^{3}\omega }}\left(1-e^{-{\frac {(p+q)^{2}\omega f}{pq-\omega (pp-qq)-\omega ^{2}(p+q)^{2}}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cf9639683b52b042537d8e1b2350336c0c52f85)
Supposons ensuite
d’un ordre infiniment plus grand que
ce qui est possible ; alors
devient négligeable par rapport à l’unité, et l’intégrale précédente deviendra, par la supposi-