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temps $t$ d’une planète qui circulerait autour du Soleil, à une distance que je prends pour l’unité, et que l’on fasse

${\begin{aligned}&{\frac {1}{4}}i(b_{1})\delta \mu 'nt=(0,1)u,\\&{\frac {1}{2}}\left[(b_{1})\left(1+i^{2}\right)-3i(b)\right]={\overline {(0,1)}}u\,;\end{aligned}}$

que l’on représente par $(0,2)u,\ {\overline {(0,2)}}u,\ (0,3)u,\ {\overline {(0,3)}}u,\ldots$ les mêmes quantités relativement aux planètes $P'',P''',\ldots \,;$ soit de plus

${\begin{alignedat}{2}\alpha e\ \sin \mathrm {A} \,\ =&p,\qquad &\alpha e\ \cos \mathrm {A} \,\ =&q,\\\alpha e'\sin \mathrm {A} '=&p',\qquad &\alpha e'\cos \mathrm {A} '=&q',\\\ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots &\ldots \\\alpha \gamma \ \sin \mathrm {C} _{1}\,=&h,\qquad &\alpha \gamma \ \cos \mathrm {C} _{1}\,=&l,\\\alpha \gamma '\sin \mathrm {C} _{1}'=&h',\qquad &\alpha \gamma '\cos \mathrm {C} _{1}'=&l',\\\ldots \ldots &\ldots &\ldots \ldots &\ldots \\\end{alignedat}}$

on aura

$\alpha ^{2}e^{2}=p^{2}+q^{2},\qquad \alpha ^{2}\gamma ^{2}=h^{2}+l^{2},$

et les trois équations précédentes deviendront

$r=a\left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {1}{2}}\left(p^{2}+q^{2}\right)-{\frac {1}{4}}\left(h^{2}+l^{2}\right)\\&+\sin \left(nt+\mathrm {B} _{1}\right)\left[p+(0,1)qu-{\overline {(0,1)}}q'u\right]\\&+\cos \left(nt+\mathrm {B} _{1}\right)\left[q-(0,1)pu+{\overline {(0,1)}}p'u\right]\\&+{\overline {(0,1)}}u(p'q-pq')+{\frac {1}{2}}(0,1)u(h'l-hl')\\&+\mathrm {Q} +p\delta \mu '\mathrm {R} +q\delta \mu '.\mathrm {\sideset {^{1}}{}R} +p'\delta \mu '.\mathrm {\sideset {^{2}}{}R} +q'\delta \mu '.\mathrm {\sideset {^{3}}{}R} \end{aligned}}\right\},$

${\begin{aligned}s&=\sin(nt+\mathrm {B} _{1})\left[l\,+(0,1)hu-{\overline {(0,1)}}h'u\right]+h\,\delta \mu '.\mathrm {\sideset {^{1}}{}S} +l\,\delta \mu '.\mathrm {\sideset {^{2}}{}S} \\&-\cos(nt+\mathrm {B} _{1})\left[h-(0,1)l\,u+{\overline {(0,1)}}l'\,u\right]+h'\delta \mu '.\mathrm {\sideset {^{3}}{}S} +l'\delta \mu '.\mathrm {\sideset {^{4}}{}S} ,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}&=n-2n\sin(nt+\mathrm {B} _{1})\left[p+(0,1)qu-{\overline {(0,1)}}q'u\right]\\&+\mathrm {\sideset {^{1}}{}X} +p\delta \mu '.\mathrm {\sideset {^{2}}{}X} +q\delta \mu '.\mathrm {\sideset {^{3}}{}X} \\&-2n\cos(nt+\mathrm {B} _{1})\left[q-(0,1)pu+{\overline {(0,1)}}p'u\right]+p'\delta \mu '.\mathrm {\sideset {^{4}}{}X} +q'\delta \mu '.\mathrm {\sideset {^{5}}{}X} .\end{aligned}}$

Pour faire disparaître les arcs de cercle de l’expression de $r,$ je fais, en suivant l’esprit de la méthode exposée au commencement de ce Mémoire,

(I.)

${\frac {dp}{dt}}=\quad (0,1)q-{\overline {(0,1)}}q',$

(II.)

${\frac {dq}{dt}}=-(0,1)p-{\overline {(0,1)}}p',$