Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/472

et

${\begin{aligned}\cos(nt-\mathrm {B} +\varpi ')=&\cos \left(\mathrm {B_{1}-C'_{1}} \right)\\&\qquad =\cos \mathrm {C} '_{1}\cos(nt+\mathrm {B} _{1})+\sin \mathrm {C} '_{1}\sin(nt+\mathrm {B} _{1}),\\\sin \mathrm {U} =&(art.\ \mathrm {XIV} )\sin(\mathrm {A'-A} +\theta '-\theta -\varpi '+\varpi )\\=&\mathrm {\sin(B'_{1}-\varpi '-B_{1}+\varpi )=\sin \left(C'_{1}-C_{1}\right)} \\=&\mathrm {\sin C'_{1}\cos C_{1}\sin C_{1}\cos C'_{1}} .\end{aligned}}$

Cela posé, on verra facilement que les expressions précédentes de $r,s$ et de ${\frac {d\varphi }{dt}}$ peuvent être mises sous cette forme

$r=a\left\{{\begin{aligned}&1+{\frac {\alpha ^{2}e^{2}}{2}}-{\frac {\alpha ^{2}\gamma ^{2}}{4}}+\cos(nt+\mathrm {B} _{1})\\&\times \left[\alpha e\cos \mathrm {A} +\alpha e\sin \mathrm {A(F+G)} \delta \mu 'nt-\alpha e'\sin \mathrm {A} '{\frac {\mathrm {\sideset {^{2}}{}L} }{2}}nt\delta \mu '\right]\\&\qquad \qquad \qquad +\sin(nt+\mathrm {B} _{1})\\&\times \left[\alpha e\sin \mathrm {A} +\alpha e\cos \mathrm {A(F+G)} \delta \mu 'nt-\alpha e'\cos \mathrm {A} '{\frac {\mathrm {\sideset {^{2}}{}L} }{2}}\delta \mu 'nt\right]\\&-\alpha ^{2}\delta \mu 'ntee'(\mathrm {\sin A'\cos A-\sin A\cos A'} )\left[{\frac {3}{2}}i(b_{1})-{\frac {1}{2}}(b)\left(1+i^{2}\right)\right]\\&+\alpha ^{2}\delta \mu 'nt\gamma \gamma '{\frac {1}{8}}i(b_{1})(\mathrm {\sin C_{1}'\cos C_{1}-\sin C_{1}\cos C_{1}'} )\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {Q} +\alpha e\ \sin \mathrm {A} \ \delta \mu '\ \ \mathrm {R} +\alpha e\ \cos \mathrm {A} \ \delta \mu '.\mathrm {\sideset {^{1}}{}R} \\&\qquad +\alpha e'\sin \mathrm {A} '\delta \mu '.\mathrm {\sideset {^{2}}{}R} +\alpha e'\cos \mathrm {A} '\delta \mu '.\mathrm {\sideset {^{3}}{}R} ,\end{aligned}}\right\},$

${\begin{aligned}s&=\sin(nt+\mathrm {B} _{1})\left[\alpha \gamma \cos \mathrm {C} _{1}+\alpha \gamma \sin \mathrm {C} _{1}{\frac {i(b_{1})\delta \mu '}{4}}nt-\alpha \gamma \ \sin \mathrm {C} '_{1}{\frac {i(b_{1})\delta \mu '}{4}}nt\right]\\&-\cos(nt+\mathrm {B} _{1})\left[\alpha \gamma \sin \mathrm {C} _{1}-\alpha \gamma \cos \mathrm {C} _{1}{\frac {i(b_{1})\delta \mu '}{4}}nt+\alpha \gamma '\cos \mathrm {C} '_{1}{\frac {i(b_{1})\delta \mu '}{4}}nt\right]\\&+\alpha \gamma \mathrm {\sin C_{1}.\sideset {^{1}}{}S+\alpha \gamma \cos C_{1}\sideset {^{2}}{}S+\alpha \gamma '\sin C'_{1}.\sideset {^{3}}{}S+\alpha \gamma '\cos C'_{1}\sideset {^{4}}{}S} ,\end{aligned}}$

${\frac {d\varphi }{dt}}=n$

${\begin{aligned}&-2n\cos(nt-\mathrm {B} _{1})\left[\alpha e\cos \mathrm {A} +\alpha e\sin \mathrm {A(F+G)} \delta \mu 'nt-\alpha e'\sin \mathrm {A} '{\frac {\mathrm {\sideset {^{2}}{}L} }{2}}\delta \mu 'nt\right]\\&-2n\sin(nt+\mathrm {B} _{1})\left[\alpha e\sin \mathrm {A} -\alpha e\cos \mathrm {A(F+G)} \delta \mu 'nt+\alpha e'\cos \mathrm {A} '{\frac {\mathrm {\sideset {^{2}}{}L} }{2}}\delta \mu 'nt\right]\\&+\mathrm {\sideset {^{1}}{}X} +\alpha e\sin \mathrm {A.\sideset {^{2}}{}X} +\alpha e\cos \mathrm {A.\sideset {^{3}}{}X} +\alpha e'\sin \mathrm {A'.\sideset {^{4}}{}X} +\alpha e'\cos \mathrm {A'.\sideset {^{5}}{}X} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {Q,R,\sideset {^{1}}{}R,\ldots ,\sideset {^{1}}{}S,\sideset {^{2}}{}S,\ldots ,\sideset {^{1}}{}X,\sideset {^{2}}{}X} ,\ldots$ étant des quantités périodiques qui ne renferment point les constantes $e,e',\ldots ,\mathrm {A,A',\ldots ,C_{1},C'_{1}} ,\ldots .$ On peut observer que $\mathrm {A,A'} ,\ldots$ peuvent être ici considérées comme exprimant les distances des projections des aphélies de $\mathrm {P,P'} ,\ldots$ à la ligne fixe, et $\mathrm {C_{1},C'_{1}} ,\ldots$ comme exprimant les distances de leurs nœuds à la même ligne.

Présentement, si l’on nomme $u$ le moyen mouvement durant le