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Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/461
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Le texte de cette page a été
corrigé
et est conforme au fac-similé.
on aura l’équation suivante
0
=
d
2
y
′
d
t
2
+
n
2
y
′
+
2
n
2
e
(
F
+
G
)
cos
a
(
n
t
+
θ
)
−
n
2
.
L
2
L
e
′
cos
(
n
t
−
B
+
θ
′
)
+
n
2
e
.
I
cos
(
n
′
t
+
B
+
θ
)
+
n
2
e
.
I
1
I
cos
(
n
′
t
−
2
n
t
+
B
+
θ
)
+
n
2
e
.
I
2
I
cos
(
2
n
′
t
−
n
t
+
2
B
+
θ
)
+
n
2
e
.
I
3
I
cos
(
2
n
′
t
−
3
n
t
+
2
B
−
θ
)
+
n
2
e
.
I
4
I
cos
(
3
n
′
t
−
2
n
t
+
3
B
+
θ
)
+
n
2
e
.
I
5
I
cos
(
3
n
′
t
−
4
n
t
+
3
B
−
θ
)
+
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
−
2
n
2
e
′
.
H
cos
(
n
′
t
+
θ
′
)
−
n
2
e
′
.
L
1
L
cos
(
2
n
′
t
−
n
t
+
B
+
θ
′
)
−
n
2
e
′
.
L
3
L
cos
(
3
n
′
t
−
2
n
t
+
2
B
+
θ
′
)
−
n
2
e
′
.
L
4
L
cos
(
n
′
t
−
2
n
t
+
2
B
−
θ
′
)
+
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
;
{\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}&+n^{2}y'+2n^{2}e(\mathrm {F+G} )\cos a(nt+\theta )\\&-n^{2}.\mathrm {\sideset {^{2}}{}L} e'\cos(\ \ nt\ -\mathrm {B} +\theta ')\\&+n^{2}e.\ \mathrm {I} \cos(\ \ n't+\mathrm {B} +\theta )\\&+n^{2}e.\mathrm {\sideset {^{1}}{}I} \cos(\ \ n't-2nt+\ \ \mathrm {B} +\theta )\\&+n^{2}e.\mathrm {\sideset {^{2}}{}I} \cos(2n't-\ \ nt+2\mathrm {B} +\theta )\\&+n^{2}e.\mathrm {\sideset {^{3}}{}I} \cos(2n't-3nt+2\mathrm {B} -\theta )\\&+n^{2}e.\mathrm {\sideset {^{4}}{}I} \cos(3n't-2nt+3\mathrm {B} +\theta )\\&+n^{2}e.\mathrm {\sideset {^{5}}{}I} \cos(3n't-4nt+3\mathrm {B} -\theta )\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-2n^{2}e'.\ \mathrm {H} \cos(\ \ n't+\theta ')\\&-\ \ n^{2}e'.\mathrm {\sideset {^{1}}{}L} \cos(2n't-\ \ nt+\ \ \mathrm {B} +\theta ')\\&-\ \ n^{2}e'.\mathrm {\sideset {^{3}}{}L} \cos(3n't-2nt+2\mathrm {B} +\theta ')\\&-\ \ n^{2}e'.\mathrm {\sideset {^{4}}{}L} \cos(\ \ n't-2nt+2\mathrm {B} -\theta ')\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}
d’où, en intégrant, on aura
y
′
=
−
(
F
+
G
)
e
n
t
sin
(
n
t
+
θ
)
+
1
2
.
L
2
L
e
′
n
t
sin
(
n
t
−
B
+
θ
′
)
+
n
2
e
.
I
n
′
2
−
n
2
cos
(
n
′
t
+
B
+
θ
)
+
n
2
e
.
I
1
I
(
n
′
−
2
n
)
2
−
n
2
cos
(
n
′
t
−
2
n
t
+
B
−
θ
)
+
n
2
e
.
I
2
I
(
2
n
′
−
n
)
2
−
n
2
cos
(
2
n
′
t
−
n
t
+
2
B
+
θ
)
+
n
2
e
.
I
3
I
(
2
n
′
−
3
n
)
2
−
n
2
cos
(
2
n
′
t
−
3
n
t
+
2
B
−
θ
)
+
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
−
2
n
2
e
′
.
H
n
′
2
−
n
2
cos
(
n
′
t
+
θ
′
)
−
n
2
e
′
.
L
1
L
(
2
n
′
−
n
)
2
−
n
2
cos
(
2
n
′
t
−
n
t
+
B
+
θ
′
)
−
n
2
e
′
.
L
3
L
(
3
n
′
−
2
n
)
2
−
n
2
cos
(
3
n
′
t
−
2
n
t
+
2
B
+
θ
′
)
−
n
2
e
′
.
L
4
L
(
n
′
−
2
n
)
2
−
n
2
cos
(
n
′
t
−
2
n
t
+
2
B
−
θ
′
)
+
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
{\displaystyle {\begin{aligned}y'=&-(\mathrm {F+G} )ent\sin(nt+\theta )\\&+{\frac {1}{2}}.\mathrm {\sideset {^{2}}{}L} e'nt\sin(nt-\mathrm {B} +\theta ')\\&+{\frac {n^{2}e.\mathrm {I} }{n'^{2}-n^{2}}}\cos(n't+\mathrm {B} +\theta )\\&+{\frac {n^{2}e.\mathrm {\sideset {^{1}}{}I} }{(n'-2n)^{2}-n^{2}}}\ \ \cos(\ \ n't-2nt+\ \ \mathrm {B} -\theta )\\&+{\frac {n^{2}e.\mathrm {\sideset {^{2}}{}I} }{(2n'-n)^{2}-n^{2}}}\ \ \cos(2n't-\ \ nt+2\mathrm {B} +\theta )\\&+{\frac {n^{2}e.\mathrm {\sideset {^{3}}{}I} }{(2n'-3n)^{2}-n^{2}}}\cos(2n't-3nt+2\mathrm {B} -\theta )\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&-{\frac {2n^{2}e'.\mathrm {H} }{n'^{2}-n^{2}}}\cos(n't+\theta ')\\&-{\frac {n^{2}e'.\mathrm {\sideset {^{1}}{}L} }{(2n'-n)^{2}-n^{2}}}\ \ \cos(2n't-\ \ nt+\ \ \mathrm {B} +\theta ')\\&-{\frac {n^{2}e'.\mathrm {\sideset {^{3}}{}L} }{(3n'-2n)^{2}-n^{2}}}\cos(3n't-2nt+2\mathrm {B} +\theta ')\\&-{\frac {n^{2}e'.\mathrm {\sideset {^{4}}{}L} }{(n'-2n)^{2}-n^{2}}}\ \ \ \cos(\ \ n't-2nt+2\mathrm {B} -\theta ')\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}}
