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donne

$s=(\alpha \gamma \sin(nt+\varpi )+\ldots \,;$

donc on aura, pour déterminer le mouvement de la planète sur le plan fixe, les trois équations

${\begin{aligned}\varphi =&\mathrm {A} +\theta +nt-2\alpha e\sin(nt+\theta )\\&\quad +{\frac {5}{4}}\alpha ^{2}e^{2}\sin(2nt+2\theta )+\ldots -{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\sin(2nt+2\varpi ),\\r=&a\left[1+{\frac {\alpha ^{2}e^{2}}{2}}-{\frac {\alpha ^{2}\gamma ^{2}}{4}}+\alpha e\cos(nt+\theta )\right.\\&\quad \ \quad \left.-{\frac {\alpha ^{2}e^{2}}{2}}\cos(2nt+2\theta )+\ldots +{\frac {\alpha ^{2}\gamma ^{2}}{4}}\cos(2nt+2\varpi )\right],\\s=&\alpha \gamma \sin(nt+\varpi )+\ldots ,\end{aligned}}$

$a$ étant le demi-grand axe de l’ellipse décrite par la planète, ou, ce qui revient au même, sa moyenne distance au Soleil ; $e$ son excentricité ; $\gamma$ la tangente de son inclinaison sur le plan fixe ; $\mathrm {A}$ étant la longitude de la projection de l’aphélie augmentée de ${\frac {1}{4}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\sin 2\mathrm {L\,;\ L}$ étant égale à la longitude de cette projection, moins celle du nœud ; $\theta$ et $\varpi$ étant les moyennes distances de la planète à son aphélie et à son nœud, lorsque $t=0.$

Si l’on voulait avoir les valeurs de $r',\varphi ',s'\,;r'',\varphi '',s'',\ldots ,$ relatives aux planètes $\mathrm {P',P''} ,\ldots ,$ il suffirait de marquer d’un trait, de deux traits, etc., les lettres $a,e,\theta ,\gamma ,\mathrm {A} ,\varpi ,n.$

X.

Du mouvement des planètes autour du Soleil, en ayant égard
à leur action les unes sur les autres.

Je reprends les équations (7), (8) et (9) de l’article VIII,

(7)

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {c+\int \psi 'rdt}{r^{2}}},$

(8)

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {\left(c+\int \psi 'rdt\right)^{2}}{r^{3}}}-\psi =0,$

(9)

${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\frac {2dsdr}{rdt^{2}}}+{\frac {s\left(c+\int \psi 'rdt\right)^{2}}{r^{4}}}+{\frac {s\psi -\psi ''}{r}}=0,$