étant nécessairement fort petit ; l’équation
donnera
![{\displaystyle {\sqrt {1+s^{2}}}\cos \sideset {^{1}}{}\varphi =\cos \left(\sideset {^{1}}{}\varphi +q\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16fd3edb9f96e72ff5473f0620707be78f98ed06)
donc, en négligeant le carré de
et la quatrième puissance de
on aura
![{\displaystyle q\sin \sideset {^{1}}{}\varphi =-{\frac {1}{2}}s^{2}\cos \sideset {^{1}}{}\varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc7b25617776b8e2e65361e363ceee611360e3d9)
on peut supposer, dans cette équation,
et en y substituant, au lieu de
sa valeur
on aura
![{\displaystyle q=-{\frac {1}{2}}\alpha \gamma s\cos \varphi =-{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\sin 2\varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620d6d43ac04044b1366d1d01a6f30263a90c904)
si l’on néglige les quantités de l’ordre
on peut supposer dans cette équation
étant la distance moyenne de la planète à son nœud, lorsque
donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi =&\sideset {^{1}}{}\varphi -{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\sin(2nt+2\varpi )\\=&\mathrm {I} +\theta +nt-2\alpha e\sin(nt+\theta )+\ldots -{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\sin(2nt+2\varpi )\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389c82c2b10122dd79629372795341247f7b00b7)
exprime ici la distance entre l’aphélie de la planète et le nœud de son orbite ; soit
la projection de cet angle, ou, ce qui revient au même, la distance entre le nœud et la projection de l’aphélie, on aura, par ce qu’on vient de voir,
![{\displaystyle \mathrm {I=L+{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\sin 2L} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf8b9a7b064ae0a0f718e27cfbc367e6f242563d)
supposons ensuite que, au lieu de fixer l’origine de
sur la ligne des nœuds, on la fixe sur une droite moins avancée de l’angle
en sorte que la longitude du nœud soit
on aura
![{\displaystyle \varphi =\mathrm {H+L+{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\sin 2L} +\theta +nt-2\alpha e\sin(nt+\theta )+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea5546a107ff8f72b870bf0f96c1a9e485a2206)
Je fais, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {H+L+{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\sin 2L=A} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250049897c5b598aff30ed0ea194c2dc46cd4ee6)
Maintenant l’équation
![{\displaystyle \sideset {^{1}}{}r=r{\sqrt {1+s^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d016e9598e32c0626f2e9cfb9e40bc9c5667ed3)
donne
![{\displaystyle r=\sideset {^{1}}{}r-{\frac {1}{4}}a\alpha ^{2}\gamma ^{2}+{\frac {1}{4}}a\alpha ^{2}\gamma ^{2}\cos(2nt+2\varpi )+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ada124d54dc386cb44ea486d9dfe73969c9c881)
ensuite l’équation
![{\displaystyle s=\alpha \gamma \sin \varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9074f4de4604cc9cea6554f5ff500e3e4258724)