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$h$ étant une constante arbitraire ; donc

$dt={\frac {r^{2}d\varphi }{\sqrt {h^{2}+2\int r^{3}\psi 'd\varphi }}}\,;$

ensuite l’équation (4) donne

$d{\frac {dr}{dt}}-r{\frac {d\varphi ^{2}}{dt}}=\psi dt\,;$

en substituant, au lieu de $dt,$ sa valeur, et faisant ${\frac {1}{r}}=u,$ on aura

${\frac {{\cfrac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u+{\cfrac {\psi }{u^{2}}}+{\cfrac {1}{u^{3}}}\psi '{\cfrac {du}{d\varphi }}}{h^{2}+2\int {\cfrac {\psi 'd\varphi }{u^{3}}}}}=0.$

L’équation (6) donnera, par un procédé semblable, en y faisant ${\frac {1}{r}}=u,$ et en y substituant, au lieu de $d^{2}u,$ sa valeur tirée de l’équation précédente,

${\frac {d^{2}s}{d\varphi ^{2}}}+s+{\frac {s\psi -\psi ''+\psi '{\cfrac {ds}{d\varphi }}}{u^{3}\left(h^{2}+2\int {\cfrac {\psi '\partial \varphi }{u^{3}}}\right)}}=0.$

IX.

Du mouvement des planètes autour du Soleil, en négligeant
leur action les unes sur les autres.

Je suppose un nombre indéfini de planètes $\mathrm {P,P',P''} ,\ldots$ circulant es autour du Soleil, et que l’on néglige leur action les unes sur les autres ; soit $\mathrm {S}$ la masse du Soleil, et concevons cet astre immobile au point $\mathrm {S} \,;$ si l’on transporte en sens contraire à la planète $\mathrm {P}$ son action sur le Soleil, elle sera sollicitée vers $\mathrm {S}$ par une force égale à ${\frac {\mathrm {S+P} }{r^{2}\left(1+s^{2}\right)}},$ d’où l’on tire

$\psi '=0,\qquad \psi =-{\frac {(\mathrm {S+P} )u^{2}}{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\qquad$et$\qquad \psi ''=-{\frac {(\mathrm {S+P} )su^{2}}{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$