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Maintenant, si l’on différentie les équations précédentes, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ et observant que

$d\delta p=dp,\quad d\delta q=dq,\quad \ldots \,;\quad d\delta a=da,\quad \ldots ,$

la première donnera

${\begin{aligned}0=&{\frac {dp}{dt}}{\frac {\partial z}{\partial p}}+{\frac {dq}{dt}}{\frac {\partial z}{\partial q}}+\ldots +{\frac {da}{dt}}{\frac {\partial z}{\partial a}}+{\frac {db}{dt}}{\frac {\partial z}{\partial b}}+\ldots \\&+\delta p{\frac {\partial ^{2}z}{\partial p\partial t}}+\delta q{\frac {\partial ^{2}z}{\partial q\partial t}}+\ldots +\delta a{\frac {\partial ^{2}z}{\partial a\partial t}}+\ldots .\\\end{aligned}}$

Mais on a

$0=\delta p{\frac {\partial ^{2}z}{\partial p\partial t}}+\delta q{\frac {\partial ^{2}z}{\partial q\partial t}}+\ldots \,;$

donc

$0={\frac {dp}{dt}}{\frac {\partial z}{\partial p}}+{\frac {dq}{dt}}{\frac {\partial z}{\partial q}}+\ldots +{\frac {da}{dt}}{\frac {\partial z}{\partial a}}+{\frac {db}{dt}}{\frac {\partial z}{\partial b}}+\ldots .$

On trouvera de la même manière

$0={\frac {dp}{dt}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial p\partial t}}+{\frac {dq}{dt}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial q\partial t}}+\ldots +{\frac {da}{dt}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial a\partial t}}+{\frac {db}{dt}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial b\partial t}}+\ldots ,$

et ainsi de suite ; on formera autant de ces équations qu’il y a d’arbitraires $a,b,\ldots$ et, en les intégrant, on aura les valeurs de ces constantes arbitraires. On peut observer que, dans ces équations, la supposition de $\alpha$ infiniment petit permet de supposer $t$ infiniment grand, ce qui simplifie le calcul dans un grand nombre de circonstances.

On peut parvenir encore à ces mêmes équations de la manière suivante.

Je suppose que l’équation

$z=\varphi (t,p,q,\ldots \,;a,b,\ldots ),$

au lieu d’être l’intégrale approchée de l’équation différentielle proposée, en soit l’intégrale complète, il est visible que $a,b,\ldots$ ne seront plus constants, mais qu’ils varieront avec $p,q,\ldots$ dans un rapport qu’il s’agit de déterminer. Je suppose donc, comme ci-dessus, que, lorsque $p,q,\ldots$ croissent depuis l’origine de l’intégrale des quantités