sième résultante soit celle qui vient de la combinaison suivant l’ordre et ainsi de suite ; cela posé, il est clair que toutes ces résultantes renferment le même nombre de termes, et précisément les mêmes, puisqu’elles renferment tous les termes qui peuvent résulter de la combinaison des lettres disposées entre elles de toutes les manières possibles ; il ne peut donc y avoir de différence entre deux résultantes que dans les signes de chacun de leurs termes ; or, il est visible que la première résultante donne la seconde, si l’on change dans la première en et, réciproquement, en mais ce changement augmente ou diminue d’une unité le nombre des variations de chaque terme ; d’où il suit que, dans la seconde résultante, tous les termes dont le nombre des variations est impair auront le signe et les autres le signe partant, cette seconde résultante n’est que la première, prise négativement.
Il est visible pareillement que la seconde résultante donnera la troisième, en y changeant en et réciproquement ; or, ce changement augmente ou diminue d’une unité le nombre des variations de chaque terme ; donc les termes dont le nombre des variations est zéro ou pair dans la troisième résultante auront le signe et les autres le signe de là, on conclura généralement que, si l’on nomme la première résultante, la deuxième, la troisième, etc., on aura
Il suit de là que si, dans la première résultante, on change en et réciproquement, ou en et réciproquement, ou en et réciproquement, etc., on aura toujours la même résultante, à la différence des signes près ; car l’échange de en et de en ne signifie autre chose, sinon qu’au lieu de combiner avec les lettres on combine avec ces mêmes lettres, ce qui donne la première résultante prise en pareillement, l’échange de en et de en indique qu’au lieu de combiner avec les lettres on combine avec elles ce qui donne la seconde résultante prise en ou la première prise en et ainsi de suite.
