les nombres placés à gauche des lettres étant ce que je nommerai dans la suite indices de ces lettres. On déterminera ainsi l’équation de condition qui doit avoir lieu entre les quantités pour que les équations précédentes soient possibles.
Lorsque dans un produit tel que dont les indices suivent la loi des nombres naturels une lettre telle que précède une autre lettre dont elle est précédée dans l’ordre de l’alphabet, j’appelle cela variation, et un terme a d’autant plus de variations que cela peut arriver de plus de manières ; par exemple, dans le terme précède dont il est précédé dans l’ordre de l’alphabet, ce qui forme trois variations ; précède et ce qui donne deux variations, et précède d’où résulte une variation ; ainsi ce terme renferme six variations ; cela posé, formez toutes les permutations possibles entre toutes les lettres et, dans chaque permutation, donnez l’indice à la première lettre, l’indice à la deuxième, l’indice à la troisième, etc. ; ensuite faites précéder chaque permutation du signe si le nombre des variations y est nul ou pair, et du signe si ce nombre est impair ; en égalant à zéro la somme de tous ces termes, vous aurez l’équation de condition demandée.
Cette règle est due à M. Cramer, mais elle peut être simplifiée par le procédé suivant, que M. Bezout a donné dans l’endroit cité des Mémoires de l’Académie.
Écrivez la lettre et avec cette lettre et la lettre formez toutes les permutations possibles, en écrivant d’abord la lettre la dernière, ensuite l’avant-dernière, et changeant de signe lorsque change de place, et vous aurez
Avec ces deux permutations et la lettre formez toutes les permutations possibles, en écrivant d’abord dans chaque terme la lettre la dernière, ensuite l’avant-dernière, et ainsi de suite ; et changeant de signe toutes les fois que change de place, et vous aurez
