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En substituant ces valeurs de $p$ et de $q$ dans les équations précédentes, on aura, en comparant séparément les termes multipliés par $\mathrm {T} ,$ les deux équations suivantes :

${\begin{aligned}{\frac {dp}{d\mathrm {T} }}=&-\alpha lq+{\frac {\alpha ^{2}q}{12}}\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right),\\{\frac {dq}{d\mathrm {T} }}=&\quad \ \alpha lp-{\frac {\alpha ^{2}p}{12}}\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right).\end{aligned}}$

Soit $\alpha l\mathrm {T} =x,$ et l’on aura

${\begin{aligned}{\frac {dp}{dx}}=&-q+{\frac {\alpha q\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right)}{12l}},\\{\frac {dq}{dx}}=&\quad \ p-{\frac {\alpha p\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right)}{12l}}.\end{aligned}}$

Je multiplie la première de ces équations par $p,$ la seconde par $q,$ et je les ajoute ensemble, ce qui donne

$p{\frac {dp}{dx}}+q{\frac {dq}{dx}}=0\,;$

donc

$p^{2}+q^{2}=e^{2},$

$e$ étant constant ; on aura conséquemment

${\begin{aligned}{\frac {dp}{dx}}=&-q\left[1-{\frac {\alpha \left(18l^{2}+5e^{2}\right)}{12l}}\right],\\{\frac {dq}{dx}}=&\quad \ p\left[1-{\frac {\alpha \left(18l^{2}+5e^{2}\right)}{12l}}\right]\,;\end{aligned}}$

d’où je conclus, en intégrant,

${\begin{aligned}p=&e\cos \left\{x\left[1-{\frac {\alpha \left(18l^{2}+5e^{2}\right)}{12l}}\right]+\theta \right\},\\q=&e\sin \left\{x\left[1-{\frac {\alpha \left(18l^{2}+5e^{2}\right)}{12l}}\right]+\theta \right\},\end{aligned}}$

$e$ et $\theta$ étant deux constantes arbitraires dépendantes des valeurs de $p$