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en l’intégrant,

(V’)

$\left\{{\begin{aligned}y&=l-\alpha ({\frac {1}{2}}-\alpha l)\left(2l^{2}+\sideset {^{1}}{^{2}}p+\sideset {^{1}}{^{2}}q\right)\\&+\sin(\mathrm {T} +t_{1})\\&\times \left[\sideset {^{1}}{}p-\alpha l\sideset {^{1}}{}qt_{1}+{\frac {\alpha ^{2}\sideset {^{1}}{}qt_{1}}{12}}\left(18l^{2}+5\sideset {^{1}}{^{2}}p+5\sideset {^{1}}{^{2}}q\right)-{\frac {\alpha ^{2}\sideset {^{1}}{}pl^{2}}{2}}t_{1}^{2}\right]\\&+\cos(\mathrm {T} +t_{1})\\&\times \left[\sideset {^{1}}{}q+\alpha l\sideset {^{1}}{}pt_{1}-{\frac {\alpha ^{2}\sideset {^{1}}{}pt_{1}}{12}}\left(18l^{2}+5\sideset {^{1}}{^{2}}p+5\sideset {^{1}}{^{2}}q\right)-{\frac {\alpha ^{2}\sideset {^{1}}{}ql^{2}}{2}}t_{1}^{2}\right]\\&+\alpha \sin 2(\mathrm {T} +t_{1})\left[{\frac {\sideset {^{1}}{}p\sideset {^{1}}{}q}{3}}-{\frac {2\alpha \sideset {^{1}}{}p\sideset {^{1}}{}ql}{3}}+{\frac {\alpha l\left(\sideset {^{1}}{^{2}}p-\sideset {^{1}}{^{2}}q\right)}{3}}t_{1}\right]\\&+\alpha \cos 2(\mathrm {T} +t_{1})\left[{\frac {\sideset {^{1}}{^{2}}q-\sideset {^{1}}{^{2}}p}{6}}+{\frac {\alpha l\left(\sideset {^{1}}{^{2}}p-\sideset {^{1}}{^{2}}q\right)}{3}}+{\frac {2\alpha \sideset {^{1}}{}p\sideset {^{1}}{}ql}{3}}t_{1}\right]\\&+{\frac {\alpha ^{2}\sideset {^{1}}{}p\left(3\sideset {^{1}}{^{2}}q-\sideset {^{1}}{^{2}}p\right)}{48}}\sin 3(\mathrm {T} +t_{1})\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {\alpha ^{2}\sideset {^{1}}{}q\left(\sideset {^{1}}{^{2}}q-3\sideset {^{1}}{^{2}}p\right)}{48}}\cos 3(\mathrm {T} +t_{1}),\end{aligned}}\right.$

$\sideset {^{1}}{}p$ et $\sideset {^{1}}{}q$ étant deux nouvelles constantes arbitraires dépendantes des valeurs de $y$ et de ${\frac {dy}{dt_{1}}},$ lorsque $t_{1}=0.$

On peut, sans intégrer une seconde fois, conclure l’équation (V’) de l’équation (V), en changeant dans celle-ci $p$ en $\sideset {^{1}}{}p,\ q$ en $\sideset {^{1}}{}q,\ t$ en $t_{1},$ excepté sous les sinus et les cosinus, où l’on doit écrire $\mathrm {T} +t_{1}$ au lieu de $t.$

Si l’on compare maintenant dans les équations (V) et (V’) les coefficients de $\sin t$ et de $\cos t,$ on aura, en observant que $t=\mathrm {T} +t_{1},$ les deux équations

${\begin{aligned}\sideset {^{1}}{}p&-\alpha l\,\sideset {^{1}}{}qt_{1}+{\frac {\alpha ^{2}.\sideset {^{1}}{}qt_{1}}{12}}\left(18l^{2}+5\sideset {^{1}}{^{2}}p+5\sideset {^{1}}{^{2}}q\right)-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\sideset {^{1}}{}pl^{2}t_{1}^{2}\\&=p-\alpha (\mathrm {T} +t_{1})\left[lq-{\frac {\alpha q}{12}}\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right)\right]-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}pl^{2}(\mathrm {T} +t_{1})^{2},\\\sideset {^{1}}{}q&+\alpha l\,\sideset {^{1}}{}pt_{1}-{\frac {\alpha ^{2}.\sideset {^{1}}{}qt_{1}}{12}}\left(18l^{2}+5\sideset {^{1}}{^{2}}p+5\sideset {^{1}}{^{2}}q\right)-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\sideset {^{1}}{}ql^{2}t_{1}^{2}\\&=q+\alpha (\mathrm {T} +t_{1})\left[lp-{\frac {\alpha p}{12}}\left(18l^{2}+5p^{2}+5q^{2}\right)\right]-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}ql^{2}(\mathrm {T} +t_{1})^{2}.\end{aligned}}$

Je fais dans ces deux équations $t_{1}=0,$ et j’observe que l’on a

${\begin{aligned}\sideset {^{1}}{}p=&p+\mathrm {T} {\frac {dp}{d\mathrm {T} }}+{\frac {\mathrm {T} ^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}p}{d\mathrm {T} ^{2}}}+\ldots ,\\\sideset {^{1}}{}q=&q+\mathrm {T} {\frac {dq}{d\mathrm {T} }}+{\frac {\mathrm {T} ^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}q}{d\mathrm {T} ^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$