et, en intégrant.
![{\displaystyle {\frac {2}{3}}\left({\frac {ds}{dx}}\right)^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3}}a^{3}-{\frac {2}{3}}s^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03fc798e6b73502dc6d082fe1fb51dc970e91b10)
étant une constante arbitraire ; partant
![{\displaystyle {\frac {ds}{\left(a^{3}-s^{3}\right)^{\frac {2}{3}}}}=dx\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc638928feed5d7dcf14246ec6f789f3dd9fd941)
et
![{\displaystyle \qquad h+\int {\frac {ds}{\left(a^{3}-s^{3}\right)^{\frac {2}{3}}}}=x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74933b353e090809191ebe63f352ceec4239b2bd)
et
étant arbitraires ; de là on aura
et, par conséquent,
et
en
et, restituant au lieu de
sa valeur
on aura les valeurs de
et de
et l’équation (10) donnera, en y supposant ![{\displaystyle t_{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fefc0ef0dbfd70994e581458810374ff8843b5c)
![{\displaystyle y=\sideset {^{1}}{}p\sin \mathrm {T} +\sideset {^{1}}{}q\cos \mathrm {T} -\alpha {\frac {\sideset {^{1}}{}p^{2}+\sideset {^{1}}{}q^{2}}{2}}\sin 3\mathrm {T} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd2f1a6428d04b1fad99911da99106062f36739)
![{\displaystyle +\alpha {\frac {\sideset {^{1}}{}p^{2}-\sideset {^{1}}{}q^{2}}{96}}\cos 5\mathrm {T} +\alpha {\frac {\sideset {^{1}}{}p\sideset {^{1}}{}q}{48}}\cos 5\mathrm {T} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e6a9e09c8592c601b440245537325ddeade912)
c’est l’expression de
après le temps quelconque
toute la difficulté se réduit donc à intégrer la quantité
or elle n’est renfermée dans aucun des cas connus dans lesquels le binôme
est intégrable ; car, pour cela, il faut, comme l’on sait, que
ou
soient des nombres entiers, ce qui n’a point lieu pour la quantité ![{\displaystyle ds\left(a^{3}-s^{3}\right)^{-{\frac {2}{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757eff93ed0a3db5f0ed9c5a24cde714fb7f3a85)
Exemple III. – Que l’on propose encore d’intégrer l’équation
(11)
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On intégrera d’abord celle-ci
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y-l,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb7c8482e701ffef3be420ce20c06dd12ebdebc)
ce qui donne
![{\displaystyle y=l+p\sin t+q\cos t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1ccdc012a8dd1abed11d71db3fc0647066a9691)
et
étant des constantes arbitraires que je détermine au moyen des