partant, on aura
![{\displaystyle p=fe^{x}+\sideset {^{1}}{}fe^{-x}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/650ed834e94df1d6d4dcf61f6920fe1015526ac2)
et
![{\displaystyle \qquad q=ge^{x}+\sideset {^{1}}{}ge^{-x}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861a556fcd03b423b4eec92eeca5f2d270774354)
de plus, on a
![{\displaystyle f=g\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aabffd9c1640096fa39295a3e6f45ebe81f7a7a7)
et
![{\displaystyle \qquad \sideset {^{1}}{}f=-\sideset {^{1}}{}g\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ebb04170e9a2ed9f5df703cd879ba443b254c3)
donc
![{\displaystyle p=fe^{{\frac {\alpha }{4}}\mathrm {T} }+\sideset {^{1}}{}fe^{-{\frac {\alpha }{4}}\mathrm {T} }\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd802051045b02316026435165ad3c1a9b50e270)
et
![{\displaystyle \qquad q=fe^{{\frac {\alpha }{4}}\mathrm {T} }-\sideset {^{1}}{}fe^{-{\frac {\alpha }{4}}\mathrm {T} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14231e880db5500fba048a355c061c6519bbf346)
et
étant deux nouvelles constantes arbitraires ; ce sont les expressions de
et de
après le temps
ou, ce qui est la même chose, les valeurs de
et de
maintenant, si l’on substitue dans l’équation (3) ces valeurs de
et de
et que l’on y suppose
elle deviendra
![{\displaystyle (\sigma )\qquad \left\{{\begin{aligned}y=&fe^{{\frac {\alpha }{4}}\mathrm {T} }\left(\sin \mathrm {T} +\cos \mathrm {T} -{\frac {\alpha }{16}}\sin 3\mathrm {T} -{\frac {\alpha }{16}}\cos 3\mathrm {T} \right)\\&+\sideset {^{1}}{}fe^{-{\frac {\alpha }{4}}\mathrm {T} }\left(\sin \mathrm {T} -\cos \mathrm {T} -{\frac {\alpha }{16}}\sin 3\mathrm {T} +{\frac {\alpha }{16}}\cos 3\mathrm {T} \right).\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22aaa572afd3c7e13cd7806a33cc8992f55c69c)
C’est l’expression de
après le temps quelconque
en négligeant les quantités de l’ordre ![{\displaystyle \alpha ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74634cf2918e42f7ff1500ba66072c926c24e23b)
Si l’on voulait porter la précision jusqu’aux quantités de l’ordre
on le ferait d’une manière semblable en faisant varier les nouvelles arbitraires
et
On pourrait parvenir encore à l’équation
) de cette manière : je reprends l’équation (2)
(2)
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et j’observe que, puisqu’on a négligé les termes de l’ordre
on peut substituer, dans les termes de l’ordre
au lieu de
et
d’autres quantités
et
telles que leurs différences d’avec
et
soient de l’ordre
en sorte que
et
seraient constants si l’on avait
je suppose donc
et
tels que l’on ait
![{\displaystyle \sideset {^{1}}{}p-p={\frac {\alpha }{4}}qt\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebcd696278c9c2c0848068ebd968c65ce2db38e4)
et
![{\displaystyle \qquad \sideset {^{1}}{}q-q={\frac {\alpha }{4}}qt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39cbfef23de129d2d9a0392e1f438a7fe45bd39c)