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tion de condition p\frac{\partial q}{\partial z}-

$q{\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\partial p}{\partial y}}+{\frac {\partial q}{\partial x}}=0$

n’est point identiquement nulle. Dans ce cas, on ne peut donc espérer que des solutions particulières de la proposée. M. Eulers donne cette règle pour les déterminer, dans ses Institutions du Calcul différentiel, p. 275 :

Formez l’équation de condition, laquelle ne sera point identiquement nulle, puisque, par hypothèse, la proposée n’est pas intégrale ; examinez ensuite si cette équation satisfait à la proposée ; si cela est, vous aurezpar ce moyen, toutes les solutions possibles de l’équation différentielle ; mais si cela n’est pas, vous serez sûr qu’aucune équation finie ne peut y satisfaire.

Cette règle n’est pas générale ; car, si l’on a

${\begin{aligned}dz=&dx\left[1+{\sqrt[{3}]{z-y-x}}\left(y+a{\sqrt[{4}]{z-y-x}}-b{\sqrt[{3}]{z-y-x}}\right)\right]\\&+dy(1+x{\sqrt[{3}]{z-y-x}},\end{aligned}}$

l’équation résultante de l’équation de condition est

$z=x+y+\left({\frac {3a}{4b}}\right)^{12},$

équation qui ne satisfait point à l’équation différentielle. On aurait tort cependant d’en conclure que cette équation ne peut avoir de solutions, puisqu’elle est satisfaite par celle-ci

$z=x+y.$

Voici présentement une méthode pour trouver toutes ces solutions.

Soit $\mu =0$ une de ces solutions ; l’équation

$dz=pdx+qdy$

peut être transformée dans la suivante

$d\mu =\mu ^{n}hdx+\mu ^{n'}h'dy,$