Soit cette quantité, on aura facilement
je nomme ces quantités ; maintenant, si de l’équation on tire les valeurs de et qu’on les nomme il est aisé de conclure, par un raisonnement entièrement analogue à celui de l’article II, que l’équation ne peut être une intégrale particulière que dans le cas où elle fait évanouir non seulement les quantités mais encore les suivantes Puisque l’équation fait disparaître on aura
et puisqu’elle fait disparaître on aura
Si l’on multiplie la première de ces équations par la seconde, par qu’en suite on les ajoute, on aura
ou, à cause de
mais on a
et
Donc
Or il est aisé de voir que ne peut être une intégrale particulière, que dans le cas où le moindre des exposants est égal ou plus grand que l’unité ; autrement n’est qu’une solution particulière.