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Donc

${\frac {\partial ^{2}\mu }{\partial x^{2}}}=-{\frac {\partial \mu }{\partial y}}\left(q\mu ^{n}{\frac {d^{i}\mu }{dx^{i}}}+q'\mu ^{n'}{\frac {d^{i'}\mu }{dx^{i'}}}+\ldots \right).$

Cela posé, voici comment on reconnaîtra si $\mu =0$ est ou n’est pas une solution particulière. Prenez les différences successives ${\frac {d^{2}\mu }{dx^{2}}},{\frac {d^{3}\mu }{dx^{3}}},{\frac {d^{4}\mu }{dx^{4}}},\ldots ,$ elles seront toutes données en fonctions de $x,y$ et ${\frac {\partial \mu }{\partial x}}\,;$ examinez ensuite la loi de ces différences. Si l’on peut les faire évanouir toutes en supposant le rapport de ${\frac {\partial \mu }{\partial x}}$ à $\mu$ fini ou infiniment grand, l’équation $\mu =0$ est une intégrale particulière ; autrement, elle n’est qu’une solution particulière.

Je suppose que l’on ait

${\frac {d^{2}\mu }{dx^{2}}}=\mu ^{n}h,$

$h$ étant fonction de $x$ et de $\mu ,$ on trouvera facilement que $\mu =0$ n’est intégrale particulière que dans le cas où $n$ est égal ou plus grand que l’unité. Ainsi dans l’équation

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=a\left[\left(1-x^{3}\right)^{4}-\left(1-y^{3}\right)^{4}\right],$

à laquelle satisfait l’équation $y=x,$ si l’on fait $y-x=\mu ,$ on aura

${\frac {d^{2}\mu }{dx^{2}}}=a\left\{\left(1-x^{3}\right)^{4}-\left[1-\left(x+\mu \right)^{3}\right]^{4}\right\}\,;$

en réduisant en suite ascendante par rapport à $\mu ,$ on a

${\frac {d^{2}\mu }{dx^{2}}}=12a\mu x^{2}\left(1-x^{3}\right)^{3}+\ldots .$

Or l’exposant de $\mu$ étant, dans ce cas, égal à l’unité, il suit que $\mu =0$ est une intégrale particulière ; mais dans l’équation

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\sqrt {x^{2}-y^{2}}},$