Or on distinguera aisément, parmi ces solutions, celles qui sont des intégrales particulières d’avec celles qui ne le sont pas.
Si l’intégrale complète aux premières différences de l’équation
est inconnue, on trouvera, de la manière suivante, toutes les solutions particulières aux premières différences de cette équation.
L’équation
peut recevoir, par l’article précédent, cette forme
![{\displaystyle d\mu =\mu ^{n}qdx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a1617856c1ef4a1da3a333b11df37550b3827c)
étant moindre que l’unité. Partant, on aura
![{\displaystyle p=-\mu ^{n}q{\frac {-{\cfrac {\partial \mu }{\partial x}}-{\cfrac {\partial \mu }{\partial y}}{\cfrac {dy}{dx}}}{dx{\cfrac {d\mu }{d^{2}y}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9943fb467d9b96ff4b9b809feb04c714261ab8fd)
on peut toujours supposer au facteur
cette forme
ce qui donne
![{\displaystyle dx{\frac {\partial \mu }{\partial ^{2}y}}=1,\qquad {\frac {\partial \mu }{\partial x}}=-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}},\qquad {\frac {\partial \mu }{\partial y}}=-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c5e378fb7a6b57b10c7efdce563444b9e049d9)
Donc
![{\displaystyle p=-\mu ^{n}q-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}-(\mathrm {R} +\mu ){\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a035b054d7e05b9ad164f8d859af81b1f7778640)
ce qui donne en substituant, dans
au lieu de
et réduisant en une suite ascendante par rapport à ![{\displaystyle \mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7e1ef161a49a22b500d63307460ad92eeb6a16)
![{\displaystyle p=l+\mu ^{n}l'+\mu ^{n+n'}l''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89669faa8720db29d255bd731be369a0820feb62)
étant fonctions de
et de
si l’on différentier cette équation par rapport à
on aura
![{\displaystyle dx{\frac {\partial p}{\partial ^{2}y}}=n\mu ^{n-1}l'+(n+n')^{n+n'-1}l''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8700a6266a57a6b9249a93d9e721310a22650cbb)
Or, puisque
est moindre que l’unité, il est clair que
devient infini par la supposition de
Partant,
devient nul, en sorte