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sitif et $q$ ne s’évanouissant pas par la supposition de $\mu =0\,;$ donc

$v-{\frac {d^{2}y}{dx}}=\mu ^{n}q\qquad$et$\qquad v={\frac {-{\frac {\partial \mu }{\partial x}}-{\frac {\partial \mu }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}}{dx{\frac {\partial \mu }{\partial ^{2}y}}}}.$

Donc

$d\mu =-\mu ^{n}qdx^{2}{\frac {\partial \mu }{\partial ^{2}y}}\,;$

la quantité $\mu$ peut toujours être imaginée sous la forme ${\frac {dy}{dx}}-\mathrm {R,\ R}$ étant fonction de $x$ et de $y,$ et, dans ce cas, $dx{\frac {\partial \mu }{\partial ^{2}y}}=1$ ^[1] ; maintenant, puisque l’on a ${\frac {dy}{dx}}=\mathrm {R} +\mu ,$ si l’on substitue cette valeur de ${\frac {dy}{dx}}$ dans la quantité $q,$ elle deviendra fonction de $x,y$ et $\mu \,;$ je suppose qu’en la développant dans une suite ascendante par rapport à $\mu$ on ait

$-q=l+\mu ^{n'}l'+\mu ^{n''}l''+\ldots ,$

$l,l',l'',\ldots$ étant fonctions de $x$ et de $y,$ on aura

${\frac {d\mu }{dx}}=\mu ^{n}l+\mu ^{n+n'}l'+\ldots \,;$

partant,

${\frac {d^{2}\mu }{dx^{2}}}=n\mu ^{n-1}l{\frac {d\mu }{dx}}+(n+n')\mu ^{n+n'-1}l'{\frac {d\mu }{dx}}+\ldots +\mu ^{n}{\frac {dl}{dx}}+\mu ^{n+n'}{\frac {dl'}{dx}}+\ldots ,$

et en substituant, au lieu de ${\frac {d\mu }{dx}},$ sa valeur, et, au lieu de ${\frac {dl}{dx}},$

${\frac {\partial l}{\partial x}}+{\frac {\partial l}{\partial y}}(\mathrm {R} +\mu ),$

on aura

${\frac {d^{2}\mu }{dx^{3}}}=n\mu ^{2n-1}l^{2}+(2n+n')\mu ^{2n+n'-1}ll'+\mu ^{n}\left({\frac {\partial l}{\partial x}}+\mathrm {R} {\frac {\partial l}{\partial y}}\right)+\mu ^{n+1}{\frac {\partial l}{\partial y}}+\ldots .$

En continuant ainsi de prendre les différences successives de $\mu$ et ob-

1. La notation ${\frac {\partial \mu }{\partial ^{2}y}}$ demande une explication ; son sens est fixé par la formule
   ${\frac {\partial \mu }{\partial ^{2}y}}={\frac {\partial \mu }{\partial y'}}{\frac {1}{dx}},$

   où l’on a fait pour un moment ${\frac {dy}{dx}}=y'\qquad \qquad \qquad \quad$(Note de l’Éditeur.)