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En y supposant $\mathrm {X} =0,$ et faisant $y=(h+\mathrm {K} x)^{l},$ elle devient, après avoir divisé par $(h+\mathrm {K} x)^{l},$

(9)

$0=1+\mathrm {AK} l+\mathrm {BK} ^{2}l(l-1)+\mathrm {DK} ^{3}(l(l-1)(l-2)+\ldots .$

Soient $p,p',p'',\ldots$ les valeurs de $l$ dans cette équation, et l’on aura

$u-(h+\mathrm {K} x)^{p},\qquad u'-(h+\mathrm {K} x)^{p'},\qquad u''-(h+\mathrm {K} x)^{p''},\qquad \ldots \,;$

d’où l’on tire facilement

${\overline {\overset {|}{\overset {\approx }{u}}}}=$

${\frac {\left(p-p^{(n-1)}\right)\left(p'-p^{(n-1)}\right)\left(p''-p^{(n-1)}\right)\ldots \left(p^{(n-2)}-p^{(n-1)}\right)}{p.p'\ldots p^{(n-2)}}}(h+\mathrm {K} x)^{p^{(n-1)}},$

partant

$z^{(n-1)}=-{\frac {pp'\ldots p^{(n-1)}\mathrm {K} }{\left(p-p^{(n-1)}\right)\left(p'-p^{(n-1)}\right)\ldots }}(h+\mathrm {K} x)^{-p^{(n-1)}-1}.$

Donc

(H)

$y=-\left\{{\begin{aligned}&{\frac {pp'\ldots p^{(n-1)}\mathrm {K} }{(p'-p)(p''-p)\ldots }}(h+\mathrm {K} x)^{p}\\&\qquad \qquad \times \left[\mathrm {C} +\int \mathrm {X} (h+\mathrm {K} x)^{-p-1}dx\right]\\+&{\frac {pp'\ldots p^{(n-1)}\mathrm {K} }{(p-p')(p''-p')\ldots }}(h+\mathrm {K} x)^{p'}\\&\qquad \qquad \times \left[\mathrm {C} '+\int \mathrm {X} (h+\mathrm {K} x)^{-p'-1}dx\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}$

Ce résultat semble différer, au premier coup d’œil, de celui que trouve M. de la Grange à l’endroit cité des Mémoires de Turin, mais on peut en reconnaître l’identité de cette manière.

Ce grand géomètre trouve que $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots$ étant les racines de l’équation

(10)

$\left\{{\begin{aligned}0=1&-\mathrm {AK} (r+1)+\mathrm {BK} ^{2}(r+1)(r+2)\\&-\mathrm {DK} ^{3}(r+1)(r+2)(r+3)+\ldots ,\end{aligned}}\right\}$

si l’on différentier cette équation en faisant varier $r,$ qu’après avoir divisé par $dr$ on substitue successivement au lieu de $r$ ses valeurs $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots$ et qu’on nomme $\mathrm {Q_{'},Q_{''}} ,\ldots$ ce que devient alors cette différence, on aura

(K)

$y=-\mathrm {K} \left\{{\begin{aligned}&{\frac {(h+\mathrm {K} x)^{-r_{1}-1}}{\mathrm {Q} _{')}}}\int \mathrm {X} (h+\mathrm {K} x)^{r_{1}}\partial x\\+&{\frac {(h+\mathrm {K} x)^{-r_{2}-1}}{\mathrm {Q} _{'')}}}\int \mathrm {X} (h+\mathrm {K} x)^{r_{2}}\partial x\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}$