III.
Si l’équation était une intégrale particulière, on aurait
il faudrait donc que l’équation rendît nulles les quantités ou, ce qui revient au même, les valeurs de tirées de l’équation voyons quelle doit être pour cela la nature de je suppose qu’on le réduise dans une suite ascendante par rapport à on aura
étant fonctions de et étant nécessairement positif ; on peut donc mettre sous cette forme ne devenant ni infini, ni zéro, en vertu de l’équation présentement, que l’on différentie l’expression précédente de réduit en séries, on aura
Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de sa valeur on aura
On trouvera pareillement
et ainsi de suite ; or il est aisé de voir, en examinant la loi de ces différences, qu’elles ne peuvent s’évanouir toutes par la supposition de que dans le cas où est égal ou plus grand que l’unité ; d’où il suit que si l’équation est une intégrale particulière de l’équation différentielle est réductible à cette forme étant nécessairement positif, égal ou plus grand que l’unité, et res-