d’où l’on voit que
sera donné par une équation de cette forme
![{\displaystyle (c)\qquad \qquad \alpha ^{n}{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}=\Delta ^{n}u+s\Delta ^{n+1}u+s'\Delta ^{n+2}u+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e41351d89a182e18a150d965cacec63a9b6eea1)
L’équation
donne pareillement
![{\displaystyle (d)\qquad \qquad {\frac {1}{\alpha ^{n}}}\int ^{n}udx^{n}=\Sigma ^{n}u+f\Sigma ^{n-1}u+f'\Sigma ^{n-2}u+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a580e6d1c8f7006e5e1ef2b96767bb95ad1547)
étant des coefficients constants et indépendants de
Soit donc
l’équation
donnera
![{\displaystyle \alpha ^{n}=e^{\alpha }-1+s\left(e^{\alpha }-1\right)^{2}+s'\left(e^{\alpha }-1\right)^{3}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d53d1e09cd5b32c4ada655c336231e8454a2e9)
or on a
![{\displaystyle \alpha ^{n}=\left[\operatorname {l} \left(1+e^{\alpha }-1\right)\right]^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e7b44fda6c5189224b89fcd0cf41ff48539975)
donc, si l’on développe le second membre de cette équation par rapport aux puissance de
il donnera
![{\displaystyle e^{\alpha }-1+s\left(e^{\alpha }-1\right)^{2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47869591750c2d23b7d00a620e12735732bbdd75)
partant, l’équation
est la même que celle-ci,
![{\displaystyle \alpha ^{n}{\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}=\left[\operatorname {l} (1+\Delta u)\right]^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b96eea2311af4ddd15a0fd06f3af4836eedd41)
pourvu que, dans le développement du second membre, on applique les exposants à la caractéristique ![{\displaystyle \Delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f768bd0f5ad6d36e95172cf0e044e88c5d119dc)
L’équation
donne, en faisant
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha ^{n}}}={\frac {1}{\left(e^{\alpha }-1\right)^{n}}}+{\frac {f}{\left(e^{\alpha }-1\right)^{n-1}}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d3b1696c89b275268daeda38c4c0cf674c9198)
or
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha ^{n}}}={\frac {1}{\left[\operatorname {l} \left(1+e^{\alpha }-1\right)\right]^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b0e373cc7d82d8cb54893ca71ca7ec4bf7e3ad1)
d’où il est facile de conclure
![{\displaystyle {\frac {1}{\alpha ^{n}}}\int ^{n}udx^{n}={\frac {1}{\left[\operatorname {l} (1+\Delta u)\right]^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9088cf92de963ef0a75a3116fc5ad85aafa3d471)