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Je reprends pour cela l’équation $(\Lambda ),$ et j’observe qu’elle se réduit à celle-ci, en faisant $h=0,$

${\begin{aligned}0=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\sin \varphi }}&\left[2^{2}\sin ^{5}p\sin q\cos q(\cos q\sin \varphi -\sin q\cos \varphi )^{2}{\frac {d^{2}y}{1.2.dx^{2}}}\right.\\&+2^{3}\sin ^{7}p\sin ^{2}q\cos q(\cos q\sin \varphi -\sin q\cos \varphi )^{3}{\frac {d^{3}y}{1.2.3.dx^{3}}}\\&+\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right]dpdq.\end{aligned}}$

Si l’on suppose, dans cette équation,

$y=gx^{\mu }\qquad$et$\qquad \sin ^{2}\varphi =-x^{2},$

il est visible qu’elle donnera l’équation $(t)\,;$ or, dans cette supposition, on a

$inn\varphi =x{\sqrt {-1}}\,;$

partant ^[1]

${\begin{aligned}(\cos q\sin \varphi -\sin q\cos \varphi )^{i}=&x^{i}\left({\sqrt {-1}}\right)^{i}\left(\cos q+{\sqrt {-1}}\sin q\right)^{i}\\=&x^{i}\left({\sqrt {-1}}\right)^{i}\left(\cos iq+{\sqrt {-1}}\sin iq\right).\end{aligned}}$

Le terme

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\sin \varphi }}{\frac {d^{2n}y}{1.2.3\ldots 2ndx^{2n}}}$

$\times 2^{2n}\sin ^{4n+1}p\sin ^{2n-1}q\cos q(\cos q\sin \varphi -\sin q\cos \varphi )^{2n}dpdq$

deviendra donc

${\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)\ldots (\mu -2n+1)}{1.2.3\ldots 2n}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\sqrt {-1}}}x^{2n-1}(-1)^{n}\sin ^{4n+1}p.$

$\times 2^{2n}\sin ^{2n-1}q\cos q\left(\cos 2nq+{\sqrt {-1}}\sin 2nq\right)dpdq\,;$

or on a

$2^{2n-2}\sin ^{2n-1}q=\pm \left[\sin(2n-1)q-(2n-1)\sin(2n-3)q+\ldots \right],$

1. On devrait avoir
   $(\cos q\sin \varphi -\sin q\cos \varphi )^{i}=x^{i}\left({\sqrt {-1}}\right)^{i}\left(\cos q+{\sqrt {-1}}{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}\sin q\right)^{i}\,;$

   mais, comme on ne cherche que le terme du degré le plus élevé en $x,$ on peut prendre, avec Laplace,

   $x^{i}\left({\sqrt {-1}}\right)^{i}\left(\cos q+{\sqrt {-1}}\sin q\right)^{i}.$
   (Note de l’Éditeur.)