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on aura l’équation

$0=2^{2}{\frac {d^{2}z}{1.2.dx^{2}}}{\frac {4}{15}}-2^{3}{\frac {d^{3}z}{1.2.3.dx^{3}}}{\frac {2}{35x}}\left(1+2x^{2}\right)+\ldots .$

Je suppose que l’intégrale de cette équation soit $z=\varphi (x),$ on aura

$y=\varphi (x)+cx^{2}+bx+a\,;$

la supposition de $h=0$ donne $y=z=\varphi (x)\,;$ on voit donc que le mouvement de rotation du corps ne fait qu’ajouter à la valeur de $y$ la quantité $cx^{2}+bx+a\ ;$ ainsi toutes les figures de révolution dans lesquelles l’équilibre a lieu lorsque la masse est immobile ont également lieu lorsqu’elle tourne autour de son axe de révolution, pourvu qu’on ajoute à l’expression de $y,\ cx^{2}+bx+a.$ Mais, lorsque $h=0,$ existe-t-il d’autre cas d’équilibre que la figure sphérique ? Il paraît difficile de se prononcer sur cet objet ; voici cependant une remarque fort générale qui exclut un grand nombre de figures.

Je suppose que, dans le cas de $h=0,$ on ait

$y=\mathrm {H} +ax^{r}+bx^{s}+\ldots +gx^{\mu },$

$r,s,\ldots ,\mu$ étant des nombres quelconques, et $x^{\mu }$ étant la puissance de $x$ la plus haute ; si l’on substitue cette valeur dans l’équation (Z), le terme $gx^{\mu }$ en donnera un de cette forme

$gx^{\mu -2}\left[2^{2}{\frac {4}{15}}{\frac {\mu (\mu -1)}{1.2}}-2^{3}{\frac {4}{35}}{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)}{1.2.3}}+\ldots \right],$

et, comme il sera le plus élevé par rapport à $x,$ il faut que l’on ait

$(t)\qquad \qquad 0=2^{2}{\frac {4}{15}}{\frac {\mu (\mu -1)}{1.2}}-2^{3}{\frac {4}{35}}{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)}{1.2.3}}+\ldots .$

Voyons donc quelles sont les valeurs de $\mu$ qui peuvent satisfaire à cette équation ; en la considérant sous cette forme, il serait fort difficile de déterminer ces valeurs, mais on peut la mettre sous une forme beaucoup plus simple de la manière suivante.