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inclinaison moyenne ${\frac {a}{2}}-{\frac {s}{2}}\,;$ or, le nombre des cas dans lesquels cela peut arriver est, par l’article précédent, $a-s\,;$ multipliant donc cette quantité $ds,$ et l’intégrant depuis $s=0$ jusqu’à $s=a-3z,$ on aura ${\frac {1}{2}}a^{2}-{\frac {9}{2}}z^{2},$ pour le nombre des cas qui ont lieu depuis $f=3z$ jusqu’à $f=a.$ Rassemblant donc tous ces cas, on aura ${\frac {1}{2}}a^{2}+3az-9z^{2},$ pour le nombre de ceux qui donnent l’inclinaison moyenne des trois corps égale à ${\frac {1}{3}}a+z.$ Ainsi, on peut supposer l’ordonnée $yz$ égale à ${\frac {{\cfrac {1}{2}}a^{2}+3az-9z^{2}}{a}},$ et l’équation de la courbe $m\mathrm {M} n$ sera

$ay={\frac {1}{2}}a^{2}+3az-9z^{2}.$

Si l’on veut présentement avoir la probabilité que l’inclinaison moyenne des trois orbites sera comprise entre deux limites données, on cherchera l’aire comprise entre ces limites, et on la divisera par l’aire entière de la courbe $\mathrm {AMB} \,;$ le quotient exprimera la probabilité demandée.

IV.

Supposons maintenant quatre corps $\mathrm {M,N,P,Q} ,$ et divisons la droite $\mathrm {AB}$ (fig. 3) en quatre parties égales $\mathrm {A} a,a\mathrm {P,P} b$ et $b\mathrm {B} \,;$ la

Fig. 3.

courbe $\mathrm {A} m\mathrm {M} n\mathrm {B}$ sera composée de quatre parties $\mathrm {A} m,m\mathrm {M,M} n$ et $n\mathrm {B} ,$ telles, cependant, que l’on ait $\mathrm {A} m$ égal à $\mathrm {B} n,$ et $mM$ égal à $n\mathrm {M} .$

Déterminons la nature de ces courbes, et, pour cela, soit comme ci-dessus $\mathrm {AY} =x,\ x$ étant moindre que ${\frac {1}{4}}a,\ \mathrm {YZ} =y\,;$ soit de plus $f$ l’inclinaison de l’orbite du corps $\mathrm {M} \,;$ la somme des inclinaisons des orbites des trois autres corps $\mathrm {N,P}$ et $\mathrm {Q}$ sera $4x-f,$ et partant leur inclinaison