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Problème IV. – Une loterie étant composée d’un nombre $n$ de numéros $1,2,3,\ldots ,n,$ dont il sort un nombre $p$ à chaque tirage, on demande la probabilité qu’après $x$ tirages tous les numéros seront sortis.

Supposons que $\mathrm {S}$ parie que tous les numéros ne seront pas sortis après ce nombre de tirages, et cherchons tous les cas favorables à $\mathrm {S} \,;$ il est clair que leur nombre est égal :

1^o Au nombre de cas suivant lesquels le numéro $i$ peut n’être pas sorti après le tirage $x\,;$

2^o Au nombre des cas suivant lesquels le numéro $2$ peut n’être pas sorti, le numéro $1$ étant sorti ;

3^o Au nombre des cas suivant lesquels le numéro $3$ peut n’être pas, sorti, les numéros $1$ et $2$ étant sortis, et ainsi de suite ; si donc l’on nomme

$\sideset {_{q}}{_{n}}y=\sideset {_{q-1}}{_{n}}y-\sideset {_{q-1}}{_{n-1}}y+\left[{\frac {(n-1)\ldots (n-p)}{1.2\ldots p}}\right]^{x},$

équation qui se rapporte au Problème I, $q$ et $n$ étant supposés variables et $x$ constant ; voici comment on peut l’intégrer dans ce cas particulier ; posant $q$ successivement égal à $1,2,3,\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}\sideset {_{1}}{_{n}}y=&\ \ \left[{\frac {(n-1)\ldots (n-p)}{1.2\ldots p}}\right]^{x},\\\sideset {_{2}}{_{n}}y=&2\left[{\frac {(n-1)\ldots (n-p)}{1.2\ldots p}}\right]^{x}-\ \ \left[{\frac {(n-2)\ldots (n-p-1)}{1.2\ldots p}}\right]^{x},\\\sideset {_{3}}{_{n}}y=&3\left[{\frac {(n-1)\ldots (n-p)}{1.2\ldots p}}\right]^{x}-3\left[{\frac {(n-2)\ldots (n-p-1)}{1.2\ldots p}}\right]^{x}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\left[{\frac {(n-3)\ldots (n-p-2)}{1.2\ldots p}}\right]^{x},\end{aligned}}$

d’où l’on conclura facilement

$\sideset {_{n}}{_{n}}y=\left[{\frac {(n-1)\ldots (n-p)}{1.2\ldots p}}\right]^{x}-{\frac {n(n-1)}{1.2}}\left[{\frac {(n-2)\ldots (n-p-1)}{1.2\ldots p}}\right]^{x}$

$+{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}\left[{\frac {(n-3)\ldots (n-p-2)}{1.2\ldots p}}\right]^{x}+\ldots .$

Or ici la somme de tous les cas possibles est $\left[{\frac {n(n-1)\ldots (n-p+1)}{1.2\ldots p}}\right]^{x}\,;$