Cette équation, avec l’équation
et les suivantes, donnera, par un procédé semblable au précédent,
![{\displaystyle \sideset {_{n-2}}{_{x}}y=nab.\sideset {_{n-2}}{_{x-2}}y-{\frac {n(n-3)}{1.2}}a^{2}b^{2}.\sideset {_{n-2}}{_{x-4}}y+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c704071d48ff157b27dee13f4be069b6ae4d738)
d’où nous conclurons
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}z={\frac {nab}{(a+b)^{2}}}.\sideset {_{n}}{_{x-2}}z-{\frac {n(n-3)}{1.2}}{\frac {a^{2}b^{2}}{(a+b)^{4}}}.\sideset {_{n}}{_{x-4}}z+\ldots +\mathrm {H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd862f8f5abcb81b7f5acd61e9ca2b570033ab4)
Si
était impair, le problème se résoudrait exactement de la même manière ; ainsi il serait inutile de nous y arrêter davantage.
Mais voici une autre manière de traiter le même problème, toujours suivant la méthode des suites récurro-récurrentes ; on fera
![{\displaystyle \sideset {_{n-2}^{\quad '}}{_{x}}y=\sideset {_{0}}{_{x}}v,\qquad \sideset {_{n-4}^{\quad '}}{_{x}}y=\sideset {_{2}}{_{x}}v,\qquad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61e6d357d0438e9d38f98ab21105bae75c75c11)
et l’on aura les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{0}}{_{x}}v=&2ab.\sideset {_{0}}{_{x-2}}v+b_{2}.\sideset {_{2}}{_{x-2}}v,\\\sideset {_{2}}{_{x}}v=&2ab.\sideset {_{2}}{_{x-2}}v+b_{2}.\sideset {_{4}}{_{x-2}}v,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599a7c90e2d15b74a572fd7a1d04bb08b13f00d4)
D’où l’on tirera facilement, par le Problème II, une équation entre
et
ou, ce qui est la mêmc chose, entre
et
à l’aide de cette équation et des deux équations
et
on éliminera facilement
et
et l’on aura une équation entre
et
d’où ensuite il sera facile, par le Problème II, de trouver une équation entre
et, changeant dans cette équation
en
et
en
on aura une seconde équation entre
et de ces deux équations on aura facilement
Ce serait le même procédé si le nombre d’écus était différent pour les deux joueurs, et le problème n’a d’autre difficulté que la longueur du calcul.
6. Je passe maintenant au Problème suivant, qui m’a été proposé à l’occasion d’un pari fait sur la loterie de l’École militaire.