avoir intégré,
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}z=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3931486a1eccac73d3c974e732f72c15bcec56)
![{\displaystyle {\frac {n}{4}}.\sideset {_{n}}{_{x-2}}z-{\frac {n(n-3)}{1.2}}{\frac {1}{4^{2}}}.\sideset {_{n}}{_{x-4}}z+{\frac {n(n-4)(n-5)}{1.2.3}}{\frac {1}{4^{3}}}.\sideset {_{n}}{_{x-6}}z-\ldots +\mathrm {H} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71c96daa2fcbd7a2b2391bb123f876c5bd35b5c)
pour déterminer cette constante
on doit observer qu’en supposant
on aura
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}z=1-{\frac {1}{2^{n-1}}},\qquad \sideset {_{n}}{_{x-2}}z=1,\qquad \sideset {_{n}}{_{x-4}}z=1,\qquad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fecbee9104a225834cc5314c5d4dbabd6c935b8c)
donc
![{\displaystyle 1-{\frac {1}{2^{n-1}}}={\frac {1}{4}}n-{\frac {n(n-3)}{1.2}}{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {n(n-4)(n-5)}{1.2.3}}{\frac {1}{4^{3}}}-\ldots +\mathrm {H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/300d63444fdd836b1a7a19e88c3684df7db4ab84)
Or on sait que, si l’on nomme
on aura
![{\displaystyle \cos n\varphi =2^{n-1}y^{n}-n2^{n-3}y^{n-2}+{\frac {n(n-3)}{1.2}}2^{n-5}y^{n-4}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d05d52b8fd1acc8b82cde4f5209204063db46cc5)
Posant donc
on aura
![{\displaystyle 1-{\frac {1}{2^{n-1}}}={\frac {n}{4}}-{\frac {n(n-3)}{1.2.4^{2}}}+{\frac {n(n-4)(n-5)}{1.2.3.4^{3}}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3a9093462f02ee50d61394871e43f9d6903e84)
d’où l’on conclut
Supposons actuellement que
soit un nombre impair,
sera alors impair, et nous aurons
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}z={\frac {\sideset {_{1}}{_{x}}y+\sideset {_{3}}{_{x}}y+\sideset {_{5}}{_{x}}y+\ldots +\sideset {_{n-2}}{_{x}}y}{2^{x}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79a45dea84822f2796d9d27f4e4431b53003c2f)
ensuite on formera les équations suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{1}}{_{x}}y=&3.\sideset {_{1}}{_{x-2}}y+\sideset {_{3}}{_{x-2}}y,\\\sideset {_{3}}{_{x}}y=&2.\sideset {_{3}}{_{x-2}}y+\sideset {_{1}}{_{x-2}}y+\sideset {_{5}}{_{x-2}}y,\\\sideset {_{5}}{_{x}}y=&2.\sideset {_{5}}{_{x-2}}y+\sideset {_{3}}{_{x-2}}y+\sideset {_{7}}{_{x-2}}y,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\sideset {_{n-2}}{_{x}}y=&2.\sideset {_{n-2}}{_{x-2}}y+\sideset {_{n-4}}{_{x-2}}y\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7a3bd5da87a1088d6f9aaed3b39b395d1a5a8d)
en opérant ensuite comme précédemment, on aura l’équation
![{\displaystyle \sideset {_{n}}{_{x}}z={\frac {n}{4}}.\sideset {_{n}}{_{x-2}}z-{\frac {n(n-3)}{1.2}}{\frac {1}{4^{2}}}.\sideset {_{n}}{_{x-4}}z+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322008ce4e5cf7e24643076ad4fc3f6ac04e8f3c)
la même que pour les nombres pairs.