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Parmi les termes constants, on peut négliger ceux de l’ordre $\alpha ^{2}\delta m'\,;$ on aura ainsi, en n’ayant égard qu’aux termes constants et proportionnels au temps,

$-{\frac {\delta m'}{r^{3}}}\int rdt\sin(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{v^{3}}}\right]=-{\frac {\alpha ^{2}\delta m'}{a^{3}}}{\frac {a^{2}}{2c}}\mathrm {B} nt.$

Or on a

${\frac {\mathrm {S} +\delta m}{a^{3}}}=n^{2}$

et, aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{2},$

${\frac {c}{a^{2}}}=n.$

Soit donc

${\frac {\delta m'}{a^{3}}}=n^{2}\delta \mu ',$

$\delta \mu '$ exprimera le rapport de la masse de la planète $p'$ à celle du Soleil, et l’on aura

(8)

${\frac {d\delta \varphi }{dt}}=-{\frac {2c}{r^{3}}}\delta r-{\frac {\alpha ^{2}\delta \mu '}{2}}\mathrm {B} n^{2}t,$

(9)

$\left\{{\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}\delta r}{dt^{2}}}+{\frac {3c^{2}}{r^{4}}}\delta r-{\frac {2(\mathrm {S} +\delta m)}{r^{3}}}\delta r+a\delta \mu 'n^{2}\mathrm {A} +\alpha a\delta \mu 'n^{2}\mathrm {C} \cos(nt+\varepsilon )\\&+\alpha a\delta \mu 'n^{2}\mathrm {D} \sin(nt+\varepsilon )+\alpha ^{2}a\mathrm {B} \delta \mu 'n^{3}t.\end{aligned}}\right.$

Je suppose

$\delta \varphi =\delta \mu 'gnt+\alpha ^{2}\delta \mu 'hn^{2}t^{2}$

et

$\delta r=a\delta \mu '\left[l+\alpha .\sideset {^{1}}{}pnt\cos(nt+\varepsilon )+\alpha qnt\sin(nt+\varepsilon )+\alpha ^{2}\mathrm {K} nt\right]\,;$

en substituant ces valeurs de $\delta \varphi$ et $\delta r$ dans les équations (8) et (9), on trouvera, en comparant les termes homologues,

$g=2\mathrm {A} ,\qquad l=-\mathrm {A} ,\qquad \sideset {^{1}}{}p={\frac {1}{2}}\mathrm {D} ,$

$q=-3e\mathrm {A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {C} ,\qquad \mathrm {K} ={\frac {3}{2}}e\mathrm {D} -\mathrm {B} ,\qquad h={\frac {3}{4}}(\mathrm {B} -e\mathrm {D} ).$