Reprenons maintenant les deux équations
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&&\sideset {_{0}}{_{x}}y=&2.\sideset {_{0}}{_{x-2}}y+\sideset {_{2}}{_{x-2}}y,\\(1)&\qquad \qquad \qquad \qquad &\sideset {_{2}}{_{x}}y=&2.\sideset {_{2}}{_{x-2}}y+2.\sideset {_{0}}{_{x-2}}y+\sideset {_{4}}{_{x-2}}y.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bc543ac2f1d7e319b80111ad03a29a641e6f1a)
La première donne
(2)
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et la seconde donne
(3)
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Si l’on multiplie l’équation (2) par
et l’équation (3) par
et qu’en suite on les ajoute avec l’équation (1), on aura
![{\displaystyle \sideset {_{2}}{_{x}}y=(2-\beta ).\sideset {_{2}}{_{x-2}}y+(\alpha +2\beta ).\sideset {_{2}}{_{x-4}}y+(2-\alpha ).\sideset {_{0}}{_{x-2}}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3383dd8116066a95a4af1db1aeba94ee9494dff2)
![{\displaystyle +(2\alpha +2\beta ).\sideset {_{0}}{_{x-4}}y+\sideset {_{4}}{_{x-2}}y+\beta .\sideset {_{4}}{_{x-4}}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86940e54b98910a07cc17ebda99238cf0444ea1f)
Soit
![{\displaystyle 2-\alpha =0\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8844849ad273deead61717cafc1626c831a6e63)
ou
![{\displaystyle \quad \alpha =2,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac74a278a702747cb8904def9c81617622a1d8a)
et
![{\displaystyle \qquad 2\alpha +2\beta =0\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91412fc8a9fa02e869f3c4ddd73790c7aa1cd64b)
ou
![{\displaystyle \quad \beta =-2\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c124e138618d670be5734e2da702480426c6f6)
on aura ainsi les équations suivantes :
![{\displaystyle (h)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\sideset {_{2}}{_{x}}y=&4.\sideset {_{2}}{_{x-2}}y-2.\sideset {_{2}}{_{x-4}}y+\sideset {_{4}}{_{x-2}}y-2.\sideset {_{4}}{_{x-4}}y,\\\sideset {_{4}}{_{x}}y=&2.\sideset {_{4}}{_{x-2}}y+\quad \sideset {_{2}}{_{x-2}}y+\sideset {_{6}}{_{x-2}}y,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\sideset {_{n-2}}{_{x}}y=&2.\sideset {_{n-2}}{_{x-2}}y+\sideset {_{n-4}}{_{x-2}}y.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/473c2bb4294c461eef7c3f07d4da365ba0b60631)
Ces équations se rapportent évidemment au problème II ; je suppose donc que l’on ait en général
![{\displaystyle (k)\qquad \quad \left\{{\begin{aligned}\sideset {_{q}}{_{x}}y=&a_{q}.\sideset {_{q}}{_{x-2}}y+b_{q}.\sideset {_{q}}{_{x-4}}y+c_{q}.\sideset {_{q}}{_{x-6}}y+\ldots +u_{q}\\&+h_{q}.\sideset {_{q+2}}{_{x-2}}y+l_{q}.\sideset {_{q+2}}{_{x-4}}y+p_{q}.\sideset {_{q+2}}{_{x-6}}y+\ldots .\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e5ef2de2e6c3a364eb1d72768b4ddcb4a3130c)
On aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{q-2}}{_{x-2}}y=&a_{q-2}.\sideset {_{q-2}}{_{x-2}}y+b_{q-2}.\sideset {_{q-2}}{_{x-4}}y+c_{q-2}.\sideset {_{q-2}}{_{x-6}}y+\ldots +u_{q-2}\\&+h_{q-2}.\sideset {_{q}}{_{x-4}}y+l_{q-2}.\sideset {_{q}}{_{x-4}}y+p_{q-2}.\sideset {_{q}}{_{x-8}}y+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ec84f63d65d4d46fe681128a4d911042396669)
Substituant dans cette équation, au lieu de
leurs