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De la première de ces équations, on conclura $h_{n},$ la deuxième donnera

$l=-a_{n+1}h_{n}-A_{n+1}h_{n}\,;$

cette valeur de $l_{n},$ substituée dans la troisième, donnera

$-a_{n+1}h_{n}-\mathrm {A} _{n+1}h_{n}={\frac {\beta _{n}}{h_{n-1}}}+\mathrm {M} _{n}-\mathrm {H} _{n}a_{n}-\mathrm {H} _{n}\mathrm {A} _{n}-{\frac {\alpha _{n}a_{n-1}}{h_{n-1}}},$

d’où l’on conclura $a_{n},$ et partant $l_{n}\,;$ en combinant de la même manière la quatrième et la cinquième, … équation, on aura l’expression de $b_{n},c_{n},p_{n},$ et ainsi du reste, et l’on déterminera $u_{n}$ par l’équation

$u_{n}=-u{\frac {\alpha _{n}+\beta _{n}+\ldots }{h_{n-1}}}-\mathrm {N} _{n}{\frac {h_{n-1}+l_{n-1}+\ldots }{h_{n-1}}}.$

4. Si l’on appelle équation du premier ordre une équation aux suites récurrentes, équation du deuxième ordre une équation telle que celle du problème I, équation du troisième ordre une équation telle que celle du problème II, et ainsi de suite, on voit qu’il est toujours possible d’abaisser par la méthode précédente une équation d’un ordre quelconque $r$ à une autre d’un ordre inférieur, pourvu que, dans une supposition particulière pour $n,$ l’équation de l’ordre $r$ devienne de l’ordre $r-1,$ et lamême méthode aurait encore lieu si la différence constante, au lieu d’être l’unité, était un nombre $q$ quelconque ; il serait inutile de nous arrêter sur cela davantage : nous allons présentement donner quelques applications de cette théorie.

5. Les problèmes les plus compliqués de toute la théorie des hasards ont pour objet la durée des événements, et l’on va voir avec quelle facilité ils peuvent être résolus par la méthode des suites récurro-récurrentes.

PRINCIPE.

La probabilité d’un événement est égale à la somme des produits de chaque cas favorable par sa probabilité divisée par la somme des produits de chaque cas possible par sa probabilité, et si chaque cas est également