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ticle XXXVII,

$x=r\cos \varphi ,\qquad y=r\sin \varphi ,\qquad z=rs\,;$

d’où il est facile de conclure

${\begin{aligned}d^{2}x=&d^{2}r\cos \varphi -2drd\varphi \sin \varphi -rd^{2}\varphi \sin \varphi -rd\varphi ^{2}\cos \varphi ,\\d^{2}y=&d^{2}r\sin \varphi +2drd\varphi \cos \varphi +rd^{2}\varphi \cos \varphi -rd\varphi ^{2}\sin \varphi ,\\d^{2}z=&rd^{2}s+2dsdr+sd^{2}r.\end{aligned}}$

Or, si l’on suppose que la droite $\mathrm {S} a$ soit infiniment près de $\mathrm {SG} ,$ alors $\psi ''$ sera la force suivant $\mathrm {SG}$ et tendant de $\mathrm {S}$ vers $\mathrm {G} \,;\ \psi '$ sera la force perpendiculaire à $\mathrm {SG}$, et dirigée dans le sens $a\mathrm {G} b,$ que je suppose être celui du mouvement de la planète ; de plus, $\cos \varphi =1$ et $\sin \varphi =0,$ d’où l’on aura

${\begin{aligned}d^{2}x=&d^{2}r-rd\varphi ^{2},\\d^{2}y=&rd^{2}\varphi +2drd\varphi \,;\end{aligned}}$

partant,

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {rd^{2}\varphi }{dt^{2}}}-{\frac {\psi ''}{\mathrm {M} }}=0\qquad$et$\qquad {\frac {rd^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {2drd\varphi }{dt^{2}}}-{\frac {\psi '}{\mathrm {M} }}=0.$

Si l’on multiplie cette dernière équation par $r,$ et que, ensuite, on l’intègre, on aura

(1)

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathrm {C} +\int {\frac {\psi 'rdt}{\mathrm {M} }}\right).$

La première équation donnera

(2)

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathrm {C} +\int {\frac {\psi 'rdt}{\mathrm {M} }}\right)^{2}-{\frac {\psi ''}{\mathrm {M} }}=0\,;$

et, puisque l’on a

$d^{2}z=rd^{2}s+2dsdr+sd^{2}r$

$=rd^{2}s+2dsdr+\left[{\frac {s\psi ''}{\mathrm {M} }}+{\frac {s}{r^{3}}}\left(\mathrm {C} +\int {\frac {\psi 'rdt}{\mathrm {M} }}\right)^{2}\right]dt^{2},$

on aura

(3)

$0={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\frac {2dsdr}{rdt^{2}}}+{\frac {s}{r^{4}}}\left(\mathrm {C} +\int {\frac {\psi 'rdt}{\mathrm {M} }}\right)^{2}+{\frac {\mathrm {S} \psi ''-\psi }{\mathrm {M} r}}.$

Au moyen des équations (1), (2) et (3) on peut déterminer le mou-