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Au moyen de ces six équations, on peut déterminer le mouvement du corps pour un instant quelconque.

XXXVIII.

Le point $i$ étant arbitraire, on peut simplifier les équations précédentes en prenant pour ce point le centre d’inertie du corps ; car on a, par la propriété de ce centre,

$\int x'd\mathrm {M} =0,\qquad \int y'd\mathrm {M} =0,\qquad \int z'd\mathrm {M} =0\,;$

partant,

${\begin{array}{ccc}\int d\mathrm {M} {\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}=0,&\int d\mathrm {M} {\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}=0,&\int d\mathrm {M} {\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}=0,\\\int d\mathrm {M} {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\mathrm {M} {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},&\int d\mathrm {M} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=\mathrm {M} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},&\int d\mathrm {M} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=\mathrm {M} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},\end{array}}$

$\int z'{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}d\mathrm {M} ={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\int z'd\mathrm {M} =0,$

et ainsi de suite ; les équations précédentes deviendront conséquemment

${\begin{aligned}0=&\psi \ \ \mathrm {Y} -\psi '\ \mathrm {Z} '\,+\int d\mathrm {M} \left(z'{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}-y'{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}\right),\\0=&\psi \ \ \mathrm {X} -\psi ''\mathrm {Z} ''\,+\int d\mathrm {M} \left(z'{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}-x'{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}\right),\\0=&\psi '\mathrm {X} '-\psi ''\mathrm {Y} ''+\int d\mathrm {M} \left(y'{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}-x'{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\right)\,;\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\psi ''-d\mathrm {M} {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&0.\\\psi '\,\ -d\mathrm {M} {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&0,\\\psi \,\ \ -d\mathrm {M} {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&0.\end{aligned}}$

XXXIX.

Ces trois dernières équations peuvent se changer en d’autres plus commodes pour les usages astronomiques ; car on a, par l’ar-