Or, posant
on a
![{\displaystyle \sideset {^{3}}{_{2}}a=\sideset {^{3}}{_{1}}a-\sideset {^{2}}{_{1}}ar+p.\sideset {^{2}}{_{1}}b=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6e5fcc3a1ddb0622b4122c10a0c93d5bb9d72c)
donc
et ainsi de suite ; enfin,
On aura donc, en faisant
et rejetant les termes, ![{\displaystyle \sideset {_{m}}{_{x-1}}y,\sideset {_{m}}{_{x-2}}y,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99a6666aeecd4651f0ec31af9b132ea771a7af3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{m-1}}{_{x}}y=&mr.\sideset {_{m-1}}{_{x-1}}y-\left[r^{2}{\frac {m(m-1)}{1.2}}-pqm\right]\sideset {_{m-1}}{_{x-2}}y\\&+\left[r^{3}{\frac {m(m-1)(m-2)}{1.2.3}}-pqrm(m-2)\right]\sideset {_{m-1}}{_{x-3}}y\\&-\left[r^{4}{\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)}{1.2.3.4}}-pqr^{2}{\frac {m(m-2)(m-3)}{1.2}}\right.\\&\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+p^{2}q^{2}{\frac {m(m-3)}{1.2}}\right]\sideset {_{m-1}}{_{x-4}}y\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce777dcc354372d1f87cd7105ff8a64ada3fcf5)
Si l’on suppose
on aura
![{\displaystyle \sideset {_{m-1}}{_{x}}y=mpq.\sideset {_{m-1}}{_{x-2}}y-{\frac {m(m-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}.\sideset {_{m-1}}{_{x-4}}y+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3becd0813d066551f5efdb91ac197a2fd974ccdd)
la même équation que j’ai trouvée ci-dessus pour ce cas.
Si l’on nomme
la probabilité de
pour gagner avant ou au coup
on aura
![{\displaystyle z_{x}=mrz_{x-1}-\left[r^{2}{\frac {m(m-1)}{1.2}}-pqm\right]z_{x-2}+\ldots +\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bfcd081bde94182249b51ab6e82968b15dcb08c)
étant une constante arbitraire.
Pareillement, si l’on nomme
la probabilité de
pour gagner avant ou au coup
on aura
![{\displaystyle {\overset {1}{z}}_{x}=mr{\overset {1}{z}}_{x-1}-\left[r^{2}{\frac {m(m-1)}{1.2}}-pqm\right]{\overset {1}{z}}_{x-2}+\ldots +{\overset {1}{\mathrm {C} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a05e73536ccd679ae84c2b14b250b1f6e831bf9e)
Pour intégrer ces équations, il faut avoir les racines de l’équation
![{\displaystyle (\Lambda )\qquad \qquad f^{m}=mrf^{m-1}-\left[r^{2}{\frac {m(m-1)}{1.2}}-pqm\right]f^{m-2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a607f7ddbb424a210ad176b97f41628f47e3dd4)
or voici comme on peut les déterminer.