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d’où, en comparant, on aura

${\begin{aligned}a_{n}=&a_{n-1}+r,\\b_{n}=&q,\\\sideset {^{1}}{_{n}}a=&\sideset {^{1}}{_{n-1}}a-a_{n-1}r+pb^{n-1},\\\sideset {^{1}}{_{n}}b=&-a_{n-1}q,\\\sideset {^{2}}{_{n}}a=&\sideset {^{2}}{_{n-1}}a-\sideset {^{1}}{_{n-1}}ar+p.\sideset {^{1}}{_{n-1}}b,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

La première de ces équations commence à exister lorsque $n$ égale $2\,;$ la seconde, lorsque $n$ égale $1\,;$ la troisième, lorsque $n$ égale 2 ; etc. On aura donc, en intégrant et ajoutant les constantes convenables,

${\begin{aligned}a_{n}=&r(n+1),\\b_{n}=&q,\\\sideset {^{1}}{_{n}}a=&-r^{2}{\frac {n(n+1)}{1.2}}+pq(n+1),\\\sideset {^{1}}{_{n}}b=&-a_{n-1}q=-qrn.\end{aligned}}$

Cette dernière équation étant vraie, lorsque $n$ égale $1,$ il suit que la cinquième équation commence à exister lorsque $n$ égale $2\,;$ ce qui donne

$\sideset {^{2}}{_{n}}a=r^{3}{\frac {(n+1)n(n-1)}{1.2.3}}-pqr(n+1)(n-1).$

Donc

$\sideset {^{2}}{_{n}}b=qr^{2}{\frac {n(n-1)}{1.2}},$

équation qui commence à exister lorsque $n$ égale $1,$ parce que $\sideset {^{2}}{_{1}}b$ égale $0.$ Donc, la sixième équation commence à exister lorsque $n$ égale $2,$ et l’on aura

${\begin{aligned}\sideset {^{3}}{_{n}}a=&-r^{4}{\frac {(n+1)n(n-1)(n-2)}{1.2.3.4}}\\&+pqr^{2}(n+1)(n-1)(n-2)-p^{2}q^{2}{\frac {(n+1)(n-2)}{1.2}}+\mathrm {C} .\end{aligned}}$