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si $m+i$ est pair ; or on trouvera ces racines en considérant que l’on a

$\sin(m+i)=x\left[2^{m+i-1}u^{m+i-1}-(m+i-2)2^{m+i-3}u^{m+i-3}+\ldots \right],$

$x$ étant le sinus et $u$ le cosinus de l’angle $z\,;$ or, posant

$\sin(m+i)z=0,$

on aura

$u^{m+i-1}=(m+i-2){\frac {1}{4}}u^{m+i-3}-\ldots .$

Soit $u={\frac {\sqrt {f}}{2{\sqrt {pq}}}},$ et l’on aura

$f^{\frac {m+i-1}{2}}=(m+i-2)pqf^{\frac {m+i-3}{2}}-\ldots$

si $m+i$ est impair, ou

$f^{{\frac {m+i}{2}}-1}=(m+i-2)pqf^{{\frac {m+i}{2}}-2}-\ldots$

si $m+i$ est pair ; les différentes valeurs de $u$ sont les cosinus des angles $z,$ tels que $\sin(m+i)z$ égale $0,$ ce qui donne

Soient $l,l_{1},l_{2},\ldots$ les cosinus de ces angles jusqu’à ${\frac {m+i}{2}}$ si $m+i$ est pair, ou ${\frac {m+i-1}{2}}$ s’il est impair ; les différentes valeurs de $f$ seront $4l^{2}pq,4l_{1}^{2}pq,\ldots .$ Ces valeurs une fois déterminées, il est aisé de trouver celles de $z_{x}$ et ${\overset {1}{z}}_{x}.$

XXXV.

Problème XIX. – Je suppose deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ avec un égal nombre $m$ d’écus, jouant à cette condition, que celui qui perdra donnera un écu à l’autre ; que la probabilité de $\mathrm {A}$ pour gagner un coup soit $p\,;$ que celle de $\mathrm {B}$ soit $q\,;$ mais qu’il puisse arriver qu’aucun d’eux ne gagne, et que la probabilité pour cela soit $r.$ Cela posé, on demande la probabilité que le jeu finira avant ou au nombre $x$ de coups.

Soient $\sideset {_{0}}{_{x}}y$ le nombre des cas suivant lesquels, au coup $x,$ le gain