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Le nombre des cas qui font gagner $\mathrm {A}$ au coup $m$ égale $p^{m}.$ Pour avoir le nombre des cas qui le font gagner précisément au coup $m+2,$ il est visible qu’il faut retrancher $p^{m}$ de la quantité précédente, et multiplier le reste par $p^{2}+2pq+q^{2},$ ce qui donne

$(\chi )\quad \left\{{\begin{aligned}mp^{m+1}q&+{\frac {m(m-1)}{1.2}}p^{m}q^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{1.2.3}}p^{m-1}q^{3}+\ldots \\&+2mp^{m}q^{2}+{\frac {2m(m-1)}{1.2}}p^{m-1}q^{3}+mp^{m-1}q^{3}+\ldots .\\\end{aligned}}\right.$

Or, le nombre des cas qui le font gagner précisément au coup $m+2$ est visiblement $mp^{m+1}q\,;$ on a donc

$z_{m+2}=p^{m}(1+mpq).$

Pour avoir le nombre des cas qui font gagner $\mathrm {A}$ au coup $m+4,$ il faut retrancher de la quantité précédente $((\chi )),\ mp^{m+1}q,$ multiplier le reste par $p^{2}+2pq+q^{2},$ et l’on aura ${\frac {m(m+3)}{1.2}}p^{m+2}q^{2}$ pour le nombre de ces cas ; ainsi,

$z_{m+4}=p^{m}\left[1+mpq+{\frac {m(m+3)}{1.2}}p^{2}q^{2}\right].$

On trouvera, de même,

$z_{m+6}=p^{m}\left[1+mpq+{\frac {m(m+3)}{1.2}}p^{2}q^{2}+{\frac {m(m+4)(m+5)}{1.2.3}}p^{3}q^{3}\right],$

et ainsi de suite ; la loi de ces valeurs de $z_{x}$ a lieu jusqu’à $z_{m+i-2}\,;$ si l’on avait besoin de valeurs ultérieures de $z_{x},$ on les obtiendrait facilement par ce procédé.

Pour intégrer présentement l’équation $(\pi ),$ il faut avoir les racines de l’équation

$f^{\frac {m+i-1}{2}}=(m+i-2)pqf^{\frac {m+i-3}{2}}-{\frac {(m+i-3)(m+i-4)}{1.2}}p^{2}q^{2}f^{\frac {m+i-5}{2}}+\ldots ,$

si $m+i$ est impair, ou

$f^{{\frac {m+i}{2}}-1}=(m+i-2)pqf^{{\frac {m+i}{2}}-2}-\ldots$