Cela posé, si l’on intègre la deuxième équation, on aura
![{\displaystyle a_{n}=n+\mathrm {C} ,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0254e3eb81b6f4807f77fd80a977de45142bcfe)
étant une constante arbitraire ; or, posant
on a
![{\displaystyle a_{n}=2,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7593f612611209128376ce27ffdc2d591e212d6)
donc
![{\displaystyle \qquad \mathrm {C} =1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375ff85cd7ba70dbf9d28e0aaeefba010b771824)
partant
![{\displaystyle \sideset {^{1}}{_{n}}b=-a_{n-1}=-n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7152619a198aa1c447abf26fcf91c5177d7ac92a)
On doit observer que cette équation ne commence à exister que lorsque
or,
étant
on a
![{\displaystyle \sideset {^{1}}{_{1}}b=0,\qquad \sideset {^{2}}{_{1}}b=0,\qquad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f628cc5c89390c1086cc3a7667e49aad44b06f0)
de plus, en faisant
on a
![{\displaystyle \sideset {^{2}}{_{2}}b=-\sideset {^{1}}{_{1}}a=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cebf1ffacf7fda998025d6ec0ece8d7b3bfc814)
semblablement,
![{\displaystyle \sideset {^{3}}{_{2}}b=0,\qquad \sideset {^{4}}{_{2}}b=0,\qquad \ldots ,\qquad \sideset {^{1}}{_{2}}a=\sideset {^{1}}{_{1}}a+\sideset {^{1}}{_{1}}b=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33b000ac494ab9671f38db59b5638ec3d34730a1)
pareillement,
![{\displaystyle \sideset {^{2}}{_{2}}a=0,\qquad \sideset {^{3}}{_{2}}a=0,\qquad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58bdb8c909c2b8d845f1544f2a266ec8c213b2c3)
Si l’on intègre la quatrième équation, on aura
![{\displaystyle \sideset {^{1}}{_{n}}a=-{\frac {(n+1)(n-2)}{1.2}}+\mathrm {C} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e465dc4d9f17f99ad0f7f6af5b0de9f1be9637f2)
pour déterminer la constante
on se servira de la valeur de
or, on a
![{\displaystyle \sideset {^{1}}{_{2}}a=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71a695096c1929ef5f41900e490f2b344679f79b)
donc
![{\displaystyle \qquad \mathrm {C} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5410117859086afbff27a06c8941a38e9b5af7f7)
partant
![{\displaystyle \sideset {^{2}}{_{n}}b={\frac {n(n-3)}{1.2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22da5eb572dea622ba59fcb76a30144876f8a439)
cette expression de
ne peut commencer à avoir lieu, par les remarques précédentes, que lorsque
de plus, en faisant
on a
![{\displaystyle \sideset {^{3}}{_{3}}b=-\sideset {^{2}}{_{2}}a=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4b32efc7c1efd780d3ae4f46646d21d750f3cd3)
pareillement,
![{\displaystyle \sideset {^{4}}{_{3}}b=0,\qquad \sideset {^{5}}{_{3}}b=0,\qquad \ldots ,\qquad \sideset {^{2}}{_{3}}a=\sideset {^{2}}{_{2}}a+\sideset {^{2}}{_{2}}b=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e9072cc482994a87838497a73ff87ebc828028)
pareillement,
![{\displaystyle \sideset {^{3}}{_{3}}a=0,\qquad \sideset {^{4}}{_{3}}a=0,\qquad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e324b3003000ebcd3acb8ecd42dc07131184fcf)