suppose, de plus,
Cela posé, on aura
![{\displaystyle \sideset {_{2,3}}{_{x}}y={\frac {x-3}{3^{x-2}}}\left({\frac {xx+2}{2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3524d103ad1e230d1f95fb1c9b12c79083d2fe)
et, en supposant
on aura la probabilité de
pour gagner, égale à
pour avoir la probabilité de
j’observe qu’elle est égale à
or on a
![{\displaystyle \sideset {_{2,4}}{_{x}}y={\frac {1}{3^{x-2}}}\left[4{\frac {(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{1.2.3.4}}+8{\frac {(x-2)(x-3)(x-4)}{1.2.3}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1779454f3a4633afbe74c65b1a0373f3d8ae86a2)
![{\displaystyle \left.+7{\frac {(x-2)(x-3)}{1.2}}+5(x-2)-17\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd100456aebc00a0e8bc2d990717a784404bfa7)
Si l’on suppose
on aura
![{\displaystyle \sideset {_{2,4}}{_{9}}y={\frac {195}{729}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a212fac3096d5cc9f34f76002ec54c18cc84e499)
la probabilité de
égale ![{\displaystyle 1-{\frac {83}{729}}-{\frac {195}{729}}={\frac {451}{729}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cef965e0b4e09393b9f94f3ceba58eec8e682453)
La méthode précédente aurait encore lieu, si, au lieu de trois joueurs, on en supposait un plus grand nombre.
On peut résoudre le Problème précédent par la méthode des combinaisons d’une manière extrêmement simple que voici :
Les mêmes choses étant supposées que dans le Problème précédent ; soit, de plus,
le nombre des coups qui manquent au joueur
en sorte que l’on ait
il est évident que le jeu doit finir au plus tard en
coups ; donc le nombre de tous les cas possibles, multipliés chacun par leur probabilité particulière, est
Pour avoir le nombre de tous les cas dans lesquels le joueur
gagne, il faut développer le trinôme
et n’admettre que les termes dans lesquels
a un exposant égal ou supérieur à
soit donc
un de ces termes ; si les exposants de
et de
sont l’un moindre que
et l’autre moindre que
il faut admettre ce terme en entier ; mais, si l’exposant de
par exemple, est égal ou plus grand que
il faut rejeter de ce terme toutes les combinaisons dans lesquelles
arrive
fois avant que
arrive
fois. Soit donc
j’observe, cela posé, que ces combinaisons sont : 1o celles dans lesquelles,
étant arrivé
fois,
est arrivé précisément
fois ; 2o celles dans lesquelles,
étant arrivé
fois,
est arrivé
fois ; 3o celles dans lesquelles,
étant arrivé
fois,
est arrivé
fois, etc., et ainsi de suite jusqu’à la combinaison dans laquelle,
étant arrivé
fois,
est arrivé
fois, si cependant
n’excède pas
car, autrement, il faudrait s’arrêter à la combinaison dans laquelle