conque de ces suites et multipliés chacun par une fonction de ce et de
ces suites seront ce que j’appelle suites récurro-récurrentes ; elles diffèrent des suites récurrentes en ce que leur terme général a deux indices variables.
Comme la considération de ces suites m’a paru très utile dans la Théorie des hasards, et qu’elles n’ont encore été examinées par personne, que je sache, j’ai cru qu’il ne serait pas inutile de les développer ici avec quelque étendue.
2. Problème I. — Je suppose que l’on ait une suite d’équations de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sideset {_{1}}{_{x}}y+\mathrm {A} .\sideset {_{1}}{_{x-1}}y+\mathrm {B} .\sideset {_{1}}{_{x-2}}y+\ldots +\mathrm {N} =0,\\&\sideset {_{2}}{_{x}}y+\mathrm {A} _{2}.\sideset {_{2}}{_{x-1}}y+\mathrm {B} _{2}.\sideset {_{2}}{_{x-2}}y+\ldots +\mathrm {N} _{2}\\&\quad =\mathrm {H} _{2}.\sideset {_{1}}{_{x}}y+\mathrm {M} _{2}.\sideset {_{1}}{_{x-1}}y+\mathrm {P} _{2}.\sideset {_{1}}{_{x-2}}y+\ldots ,\\&\sideset {_{3}}{_{x}}y+\mathrm {A} _{3}.\sideset {_{3}}{_{x-1}}y+\mathrm {B} _{3}.\sideset {_{3}}{_{x-2}}y+\ldots +\mathrm {N} _{3}\\&\quad =\mathrm {H} _{3}.\sideset {_{2}}{_{x}}y+\mathrm {M} _{3}.\sideset {_{2}}{_{x-1}}y+\mathrm {P} _{3}.\sideset {_{2}}{_{x-2}}y+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195cbd43fdc89c90a5f064fe6538e904c196db09)
(1)
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Il faut déterminer la valeur de
étant des fonctions quelconques de
et
étant ce que deviennent ces fonctions lorsque l’on y substitue successivement, au lieu de
enfin
étant des constantes quelconques.
Supposons d’abord que l’on ait
![{\displaystyle (a)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \sideset {_{1}}{_{x}}y+\mathrm {A} .\sideset {_{1}}{_{x-1}}y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a4b997416c9d4d0efe8daa2761e5670f14c3dea)
![{\displaystyle (b)\qquad \qquad \qquad \qquad \sideset {_{2}}{_{x}}y+\mathrm {A} _{2}.\sideset {_{2}}{_{x-1}}y=\mathrm {H} _{2}.\sideset {_{1}}{_{x}}y+\mathrm {M} _{2}.\sideset {_{1}}{_{x-1}}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cceb42fa75155d581216542a431ca2ce2be76dac)
La seconde de ces équations donnera
![{\displaystyle \sideset {_{2}}{_{x-1}}y+\mathrm {A} _{2}.\sideset {_{2}}{_{x-2}}y=\mathrm {H} _{2}.\sideset {_{1}}{_{x-1}}y+\mathrm {M} _{2}.\sideset {_{1}}{_{x-2}}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44567469b7620402943fa161729d5fd86dcad580)
mais l’équation
donne
![{\displaystyle \sideset {_{1}}{_{x-2}}y=-{\frac {\sideset {_{1}}{_{x-1}}y}{\mathrm {A} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0925b7894310e9555e5a60e6adf08322111cd59)