La difficulté consiste présentement à déterminer les constantes arbitraires ;
lesquelles peuvent être des fonctions de
et de
Pour cela, je suppose d’abord
et l’on aura
![{\displaystyle (\sigma )\quad \sideset {_{1,n}}{_{x}}y=r^{x-2}\times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ac1d52e6034424ac5969e34b57df9561b8276b)
![{\displaystyle \left[\sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }+\sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {D} }(x-2)+\sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {E} }{\frac {(x-2)(x-3))}{1.2}}+\ldots +\sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {E} }{\frac {(x-2)\ldots (x-n))}{1.2.3\ldots (n-1)}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc4d912fbe683c73e819f744321615932df3507)
Or on a
comme il est visible, puisqu’il ne manque alors aucun coup au joueur
je reprends ensuite l’équation
![{\displaystyle \sideset {_{1,n}}{_{x}}y=r.\sideset {_{1,n}}{_{x-1}}y+q.\sideset {_{1,{n-1}}}{_{x-1}}y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3bf967e44bf75d1390c4f24ab86780a1c73472)
Si l’on fait
on a
![{\displaystyle \sideset {_{1,n}}{_{n+1}}y=1=r.\sideset {_{1,n}}{_{n}}y+q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6463e8daf355702e06282f400c27d7a2fb0f01)
donc
![{\displaystyle \sideset {_{1,n}}{_{n}}y={\frac {1-q}{r}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1351a0aa13364d7c930aa23fa358b6d9e2bc1869)
ensuite
![{\displaystyle \sideset {_{1,n}}{_{n}}y={\frac {1-q}{r}}=r.\sideset {_{1,n}}{_{n-1}}y+q{\frac {1-q}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8fe2db9112761b2a03668aa661497293597c8f)
donc
![{\displaystyle \sideset {_{1,n}}{_{n-1}}y=\left({\frac {1-q}{r}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d78b8f8b365849cd9646411ad0c496443891b9)
On trouvera pareillement
![{\displaystyle \sideset {_{1,n}}{_{n-2}}y=\left({\frac {1-q}{r}}\right)^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62803b6554376580e5a5412b6b964a7c2d4e11a)
et ainsi de suite. Cela posé, si l’on fait
l’équation
donnera
si l’on fait
on aura
![{\displaystyle \left({\frac {1-q}{r}}\right)^{n-2}=r\left[\left({\frac {1-q}{r}}\right)^{n-1}+\sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {D} }\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/663ac8891ab3ff84788e0ef51bc85aa4d242aaf6)
donc
![{\displaystyle \sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {D} }=\left({\frac {1-q}{r}}\right)^{n-2}{\frac {q}{r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ffa617757d9a484130240e8b2896d9921ed915)
En faisant
on aura
![{\displaystyle \sideset {_{1}}{_{n}}{\mathrm {E} }=\left({\frac {1-q}{r}}\right)^{n-3}{\frac {q^{2}}{r^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec49245e1948f23c3fcfd6990f6ddb5549830213)