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partie ; ${\overset {2}{z}}_{x}$ la probabilité que ce sera $(n-1),$ et ainsi de suite : on aura ${\overset {1}{z}}_{x}={\frac {1}{3}}{\overset {n}{u}}_{x-1}.$ Partant,

${\overset {1}{z}}_{x}-{\frac {1}{3}}{\overset {1}{z}}_{x-1}={\frac {1}{3}}{\overset {2}{z}}_{x-1}.$

On aura de même

${\begin{aligned}{\overset {2}{z}}_{x}-{\frac {1}{3}}{\overset {2}{z}}_{x-1}=&{\frac {1}{3}}{\overset {3}{z}}_{x-1},\\{\overset {3}{z}}_{x}-{\frac {1}{3}}{\overset {3}{z}}_{x-1}=&{\frac {1}{3}}{\overset {4}{z}}_{x-1},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots ,\end{aligned}}$

en sorte que ces équations sont rentrantes. Cela posé, en suivant la méthode exposée précédemment pour ce genre d’équations, on aura

${\overset {1}{z}}_{x}-{\frac {2}{3}}{\overset {1}{z}}_{x-1}+{\frac {1}{3^{2}}}{\overset {1}{z}}_{x-2}={\frac {1}{3}}\left({\overset {2}{z}}_{x-1}-{\frac {1}{3}}{\overset {2}{z}}_{x-1}\right)={\frac {1}{3^{2}}}{\overset {3}{z}}_{x-2}\,;$

partant,

${\overset {1}{z}}_{x}-{\frac {3}{3}}{\overset {1}{z}}_{x-1}+{\frac {3}{3^{2}}}{\overset {1}{z}}_{x-2}-{\frac {3}{3^{3}}}{\overset {1}{z}}_{x-3}={\frac {1}{3^{3}}}\left({\overset {3}{z}}_{x-2}-{\frac {1}{3}}{\overset {3}{z}}_{x-2}\right)={\frac {1}{3^{3}}}{\overset {4}{z}}_{x-3}\,;$

d’où, en continuant d’opérer ainsi, on aura

${\overset {1}{z}}_{x}-{\frac {n}{3}}{\overset {1}{z}}_{x-1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {1}{3^{2}}}{\overset {1}{z}}_{x-2}-{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}{\frac {1}{3^{3}}}{\overset {1}{z}}_{x-3}+\ldots ={\frac {1}{3^{n}}}{\overset {1}{z}}_{x-n}\,;$

on aura pareillement

${\overset {2}{z}}_{x}-{\frac {n}{3}}{\overset {2}{z}}_{x-1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {1}{3^{2}}}{\overset {2}{z}}_{x-2}-{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}{\frac {1}{3^{3}}}{\overset {2}{z}}_{x-3}+\ldots ={\frac {1}{3^{n}}}{\overset {2}{z}}_{x-n},$

et ainsi de suite pour les autres variable ${\overset {3}{z}}_{x},{\overset {4}{z}}_{x},\ldots .$

Pour intégrer ces différentes équations, il font résoudre celle-ci $\left(f-{\frac {1}{3}}\right)^{n}={\frac {1}{3^{n}}}\,;$ ou, en faisant $f-{\frac {1}{3}}=q,\ q^{n}-{\frac {1}{3^{n}}}=0,$ ce qu’il est aisé de faire, par le beau théorème de Cote. Il ne reste plus ainsi de difficulté que dans la détermination des constantes arbitraires qui viennent par l’intégration. Pour cela, il est nécessaire d’avoir la probabilité de gagner de chaque joueur pour un nombre $n$ de coups. Or, pour ce qui regarde le joueur $(1),$ sa probabilité de gagner au premier coup est ${\frac {1}{3}}\,;$