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est la même que celle-ci :

${\begin{aligned}0=&\left(1+{\frac {\mathrm {E} }{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{}{\mathrm {E} }}{f^{2}}}+\ldots \right)\left(1+{\frac {\mathrm {H} }{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{}{\mathrm {H} }}{f^{2}}}+\ldots \right)\\&\qquad \qquad \times \left(1+{\frac {\mathrm {A} _{3}}{f}}+\ldots \right)\ldots \left(1+{\frac {\mathrm {A} _{n}}{f}}+\ldots \right).\end{aligned}}$

Pour déterminer $u_{n},$ on doit observer que dans ce cas l’équation (V) devient

${\begin{aligned}u_{n}&\left(1+\mathrm {A} _{n}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }+\ldots \right)+\mathrm {N} _{n}\left(1-a_{n}-\sideset {^{1}}{_{n}}a-\ldots \right)\\=&u_{n-1}\left(1+\mathrm {A} _{n}+\ldots \right)\left(\mathrm {B} _{n}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }+\ldots \right)\\&+u_{n-1}\left(1+\mathrm {A} _{n-1}+\ldots \right)\left(1+\mathrm {A} _{n}+\ldots \right)(\mathrm {C} _{n}+\ldots )\,;\end{aligned}}$

or

$1-a_{n}-\sideset {^{1}}{_{n}}a-\ldots =\left(1-a_{n-1}-\sideset {^{1}}{_{n-1}}a-\ldots \right)\left(1+\mathrm {A} _{n}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }+\ldots \right)\,;$

donc

$u_{n}=\mathrm {N} _{n}\left(a_{n-1}+\sideset {^{1}}{_{n-1}}a-1\right)$

$+u_{n-1}\left(\mathrm {B} _{n}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }+\ldots \right)+u_{n-2}\left(1+\mathrm {A} _{n-1}+\ldots \right)(\mathrm {C} _{n}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }+\ldots ).$

Cette équation étant différentielle du second ordre renferme deux constantes arbitraires ; elles se détermineront au moyen des valeurs de $u_{1}$ et $u_{2}.$ Or on a

${\begin{aligned}u_{1}=&-\mathrm {L} ,\\u_{2}=&-\mathrm {L} \left(1+\mathrm {E} +\sideset {^{1}}{}{\mathrm {E} }+\ldots \right)-\mathrm {K} \left(1+\mathrm {F} +\sideset {^{1}}{}{\mathrm {F} }+\ldots \right).\end{aligned}}$

XXIII.

Quoique, dans les deux derniers problèmes, les équations aux différences partielles considérées par rapport à la variable $n$ ne passent pas le second ordre, on voit cependant que la méthode réussira généralement, quel que soit le degré de la différence des variables. Cette méthode suppose à la vérité que $\sideset {_{1}}{_{x}}y,$ ou $\sideset {_{1}}{_{x}}y,$ et $\sideset {_{2}}{_{x}}y,\ldots ,$ suivant le degré de la différence de $n,$ sont données en fonctions de $x,$ ou par des équations linéaires entre $x$ et ces quantités ; or il peut arriver que cela ne soit pas. Je suppose, par exemple, que l’on ait les équations