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donc

$(\mathrm {V} )\left\{{\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}u&+\mathrm {A} _{n}.\sideset {_{n}}{_{x-1}}u+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {A} }.\sideset {_{n}}{_{x-2}}u+\ldots +\mathrm {N} _{n}\left(1-a_{n}-\sideset {^{1}}{_{n}}a-\ldots \right)\\=&\mathrm {B} _{n}\left(\sideset {_{n-1}}{_{x}}u+\mathrm {A} _{n}.\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}u+\ldots \right)+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }\left(\sideset {_{n-1}}{_{x-1}}u+\ldots \right)+\ldots \\&+\mathrm {C} _{n}\left[\sideset {_{n-2}}{_{x}}u+\mathrm {A} _{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}u+\ldots \right.\\&\ \quad \qquad \qquad +\mathrm {A} _{n}\left(\sideset {_{n-2}}{_{x-1}}u+\mathrm {A} _{n-1}.\sideset {_{n-2}}{_{x-2}}u+\ldots \right)\\&\ \quad \qquad \qquad +\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$

Pour intégrer cette équation, on observera que la valeur de $\sideset {_{n}}{_{x}}u$ doit avoir cette forme

${\begin{aligned}\sideset {_{n}}{_{x}}u=&b_{n}\varphi (x)+\sideset {^{1}}{_{n}}b\varphi (x-1)+\sideset {^{2}}{_{n}}b\varphi (x-2)+\ldots \\&+c_{n}\sideset {^{1}}{}\varphi (x)+\sideset {^{1}}{_{n}}c\sideset {^{1}}{}\varphi (x-1)+\sideset {^{2}}{_{n}}c\sideset {^{1}}{}\varphi (x-2)+\ldots +g_{n}.\end{aligned}}$

Il ne s’agit plus maintenant que de déterminer $b_{n},\sideset {^{1}}{_{n}}b,\ldots ,$$c_{n},\sideset {^{1}}{_{n}}c,\ldots ,g_{n}.$ Pour cela, on substituera cette valeur de $\sideset {_{n}}{_{x}}u$ dans l’équation (V), ce qui donne

${\begin{aligned}&b_{n}\varphi (x)+\varphi (x-1)\left(\sideset {^{1}}{_{n}}b+\mathrm {A} _{n}b_{n}\right)+\ldots \\+&c_{n}\sideset {^{1}}{}\varphi (x)+\sideset {^{1}}{}\varphi (x-1)\left(\sideset {^{1}}{_{n}}c+\mathrm {A} _{n}c_{n}\right)+\ldots \\=\varphi &(x)\left(\mathrm {B} _{n}b_{n-1}+\mathrm {C} _{n}b_{n-2}\right)\\+&\varphi (x-1)\left[\mathrm {B} _{n}\sideset {^{1}}{_{n-1}}b+\mathrm {B} _{n}\mathrm {A} _{n}b_{n-1}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }b_{n-1}\right.\\+&\qquad \qquad \left.\mathrm {C} _{n}\sideset {^{1}}{_{n-2}}b+\mathrm {C} _{n}\mathrm {A} _{n-1}b_{n-2}+\mathrm {C} _{n}\mathrm {A} _{n}b_{n-2}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }b_{n-2}\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\sideset {^{1}}{}\varphi (x)\left(\mathrm {B} _{n}c_{n-1}+\mathrm {C} _{n}c_{n-2}\right)\\+&\sideset {^{1}}{}\varphi (x-1)\left[\mathrm {B} _{n}\sideset {^{1}}{_{n-1}}c+\mathrm {B} _{n}\mathrm {A} _{n}c_{n-1}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }c_{n-1}\right.\\&\quad \qquad \qquad \left.+\mathrm {C} _{n}\sideset {^{1}}{_{n-2}}c+\mathrm {C} _{n}\mathrm {A} _{n-1}c_{n-2}+\mathrm {C} _{n}\mathrm {A} _{n}c_{n-2}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }c_{n-2}\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

d’où l’on aura

${\begin{aligned}b_{n}\ =&\mathrm {B} _{n}\ b_{n-1}+\mathrm {C} _{n}\ b_{n-2},\\\sideset {^{1}}{_{n}}b=&\mathrm {B} _{n}\sideset {^{1}}{_{n-1}}b+\mathrm {C} _{n}\sideset {^{1}}{_{n-2}}b+b_{n-1}\left(\mathrm {B} _{n}\mathrm {A} _{n}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {B} }+\mathrm {C} _{n}\mathrm {A} _{n-1}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +b_{n-2}\left(\mathrm {C} _{n}\mathrm {A} _{n}+\sideset {^{1}}{_{n}}{\mathrm {C} }\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\c_{n}\ =&\mathrm {B} _{n}c_{n-1}+\mathrm {C} _{n}c_{n-2}\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

en intégrant, on aura les valeurs de $b_{n},\sideset {^{1}}{_{n}}b,\ldots ,$$c_{n},\sideset {^{1}}{_{n}}c,\ldots .$