et
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{4}}{_{x}}y+&\mathrm {A} _{4}.\sideset {_{4}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{4}}{\mathrm {A} }.\sideset {_{4}}{_{x-2}}y+\ldots +\mathrm {N} _{4}\\=&\ \quad \mathrm {B} _{4}.\sideset {_{3}}{_{x}}y+\sideset {^{1}}{_{4}}{\mathrm {B} }.\sideset {_{3}}{_{x-1}}y+\ldots \\&+\mathrm {C} _{4}.\sideset {^{1}}{}\varphi (x)+\sideset {^{1}}{_{4}}{\mathrm {C} }.\sideset {^{1}}{}\varphi (x-1)+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6b367a194c97dfad6bfd1db5718ea50d3bddc31)
d’où l’on tirera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{4}}{_{x}}y&+\mathrm {A} _{4}.\sideset {_{4}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{4}}{\mathrm {A} }.\sideset {_{4}}{_{x-2}}y+\ldots +\mathrm {N} _{4}\\&+\mathrm {A} _{4}\left(\sideset {_{4}}{_{x-1}}y+\ \ \mathrm {A} _{4}.\sideset {_{4}}{_{x-2}}y+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\=&\ \ \quad \mathrm {B} _{4}\left(\sideset {_{3}}{_{x}}y\quad +\mathrm {A} _{3}.\sideset {_{3}}{_{x-1}}y+\ldots \right)\\&+\sideset {^{1}}{_{4}}{\mathrm {B} }\left(\sideset {_{3}}{_{x-1}}y+\mathrm {A} _{3}.\sideset {_{3}}{_{x-2}}y+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {C} _{4}.\sideset {^{1}}{}\varphi (x)+\sideset {^{1}}{_{3}}{\mathrm {C} }.\sideset {^{1}}{}\varphi (x-1)+\ldots \\&+\mathrm {A} _{3}.\mathrm {C} _{4}.\sideset {^{1}}{}\varphi (x-1)+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83aeeecdd0e8eb7f2a54c604b63b5e27373c289f)
Or, si l’on substitue dans cette équation, au lieu de
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{3}}{_{x}}y\quad &+\mathrm {A} _{3}.\sideset {_{3}}{_{x-1}}y+\ldots ,\\\sideset {_{3}}{_{x-1}}y&+\mathrm {A} _{3}.\sideset {_{3}}{_{x-2}}y+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d001e5d9ef3c1999f2257cec1dd1110fb368984)
leurs valeurs, on aura une équation de cette forme
![{\displaystyle \sideset {_{4}}{_{x}}y=a_{4}.\sideset {_{4}}{_{x-1}}y+\sideset {^{1}}{_{4}}a.\sideset {_{4}}{_{x-2}}y+\sideset {^{2}}{_{4}}a.\sideset {_{4}}{_{x-3}}y+\ldots +\sideset {_{4}}{_{x}}u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e91ca5c05d3c5440e561988b38199bf9eac2c5)
Cette équation s’intégrera par ce qui précède, dès que l’on connaîtra
et les racines de l’équation
![{\displaystyle 1={\frac {a_{4}}{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{_{4}}a}{f^{2}}}+{\frac {\sideset {^{2}}{_{4}}a}{f^{3}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/982b05d4fb5b63af90ade802f31bfecb1b96e7e1)
Or il est aisé de voir que cette équation est la même que celle-ci
![{\displaystyle 0=\left(1+{\frac {\mathrm {A} _{3}}{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{_{3}}{\mathrm {A} }}{f^{2}}}+\ldots \right)\left(1+{\frac {\mathrm {A} _{4}}{f}}+{\frac {\sideset {^{1}}{_{4}}{\mathrm {A} }}{f^{2}}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a1968420aadd7459745a4494656ac063133b4f8)
En suivant le même procédé pour
et généralement pour
on parviendra à une équation de cette forme
(A)
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équation qui sera facilement intégrale lorsqu’on connaîtra
et les