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en observant que

${\begin{aligned}&{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots (n-1)}}=\\&\qquad \qquad \qquad {\frac {(x-2)(x-3)\ldots (x-n)}{1.2.3\ldots (n-1)}}+{\frac {(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots (n-2)}},\\&{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-n+2)}{1.2.3\ldots (n-2)}}=\\&\qquad \qquad \qquad {\frac {(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots (n-2)}}+{\frac {(x-2)\ldots (x-n+2)}{1.2.3\ldots (n-3)}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et l’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {C} _{n}{\frac {(x-2)(x-3)\ldots (x-n)}{1.2.3\ldots (n-1)}}+\left(\mathrm {C} _{n}+\mathrm {D} _{n}\right)&{\frac {(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots (n-2)}}\\+\left(\mathrm {D} _{n}+\mathrm {E} _{n}\right)&{\frac {(x-2)\ldots (x-n+2)}{1.2.3\ldots (n-3)}}+\ldots \\=\mathrm {C} _{n}{\frac {(x-2)\ldots (x-n)}{1.2.3\ldots (n-1)}}+\left(\mathrm {D} _{n}+\mathrm {C} _{n-1}\right)&{\frac {(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots (n-2)}}\\+\left(\mathrm {E} _{n}+\mathrm {D} _{n-1}\right)&{\frac {(x-2)\ldots (x-n+2)}{1.2.3\ldots (n-3)}}+\ldots .\end{aligned}}$

En comparant terme à terme, on aura :

1^o $\mathrm {C} _{n}=\mathrm {C} _{n-1},\;$ donc $\mathrm {C} _{n}=\mathrm {A} .$ Or, posant $n=1,$ la quantité

${\frac {1(x-1)(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots (n-1)}}$

se réduit à son premier facteur $1,$ et les quantités suivantes

${\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-n+2)}{1.2.3\ldots (n-2)}},\qquad \ldots$

deviennent nulles ; donc $\sideset {_{1}}{_{x}}y=\mathrm {A} 2^{x-1}.$ Or on a $\sideset {_{1}}{_{1}}y=1\,;$ donc $\mathrm {A} =1=\mathrm {C} _{n}.$

2^o $\mathrm {D} _{n}=\mathrm {D} _{n-1},$ partant $\mathrm {D} _{n}=\mathrm {A}$ et $\sideset {_{2}}{_{x}}y=2^{x-1}\left({\frac {x-1}{1}}+\mathrm {A} \right).$ Or posant $x=1,$ on a $i\sideset {_{2}}{_{1}}y=0$ par la formation des suites précédentes ; donc $\mathrm {A} =0$ et $\mathrm {D} _{n}=0.$

On trouvera semblablement $\mathrm {E} _{n}=0,\ \mathrm {F} _{n}=0,\ldots \,;$ donc

$\sideset {_{n}}{_{x}}y=2^{x-1}{\frac {(x-1)(x-2)\ldots (x-n+1)}{1.2.3\ldots (n-1)}}.$