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équation dont l’intégrale est

$u_{z}=\mathrm {A} \left({\frac {1+h{\sqrt {-1}}}{1-h{\sqrt {-1}}}}\right)^{z}-{\frac {g}{h}}=x\left(1-h{\sqrt {-1}}\right)-g{\sqrt {-1}}\,;$

partant,

$z\operatorname {l} {\frac {1+h{\sqrt {-1}}}{1-h{\sqrt {-1}}}}=\operatorname {l} (g+hx)+\mathrm {K} .$

Or, si l’on nomme $\varpi \pi$ l’angle dont la tangente est $h,$ et $\pi$ : le rapport de la demi-circonférence au rayon, on aura

$\operatorname {l} {\frac {1+h{\sqrt {-1}}}{1-h{\sqrt {-1}}}}=2{\sqrt {-1}}\varpi \pi \,;$

donc

$z={\frac {\operatorname {l} (g+hx)}{2{\sqrt {-1}}\varpi \pi }}+\mathrm {K} '.$

Maintenant on a

$f\left(u_{z+1}\right)-f\left(u_{z}\right)=2\mathrm {M} {\sqrt {-1}}\,;$

et, en représentant $f\left(u_{z}\right)$ par $t_{z},$

$t_{z+1}=t_{z}+2\mathrm {M} {\sqrt {-1}},$

donc

$t_{z}=\mathrm {H} +2\mathrm {M} z{\sqrt {-1}}\,;$

substituant au lieu de $z$ sa valeur, on aura

$t_{z}=\mathrm {M} {\frac {\operatorname {l} (g+hx)}{\varpi \pi }}+\mathrm {L} ,$

$\mathrm {L}$ étant une constante arbitraire, laquelle peut être fonction quelconque de $\sin 2\pi z$ et de $\cos 2\pi z,$ ou de $\sin {\frac {\operatorname {l} (g+hx)}{\varpi {\sqrt {-1}}}}$ et de $\cos {\frac {\operatorname {l} (g+hx)}{\varpi {\sqrt {-1}}}}$ et par conséquent de $e^{\frac {\operatorname {l} (g+hx)}{\varpi }}\,;$ or, $e^{\operatorname {l} (g+hx)}=g+hx\,;$ donc $\mathrm {L}$ peut être fonction de $(g+hx)^{\frac {1}{\varpi }}\,;$ partant,

$f\left(x-y{\sqrt {-1}}\right)=\mathrm {M} {\frac {\operatorname {l} (g+hx)}{\varpi \pi }}+\Gamma \left[(g+hx){\frac {1}{\varpi }}\right].$