Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/119

Pour intégrer cette équation, je suppose $t_{1}=a+{\frac {1}{a}},$ donc

$t_{2}=a^{2}+{\frac {1}{a^{2}}},\qquad t_{3}=a^{4}+{\frac {1}{a^{4}}},\qquad \ldots ,$

et généralement

$t_{z}=a^{2^{z-1}}+{\frac {1}{a^{2^{z-1}}}},$

expression complète de $t_{z},$ puisque $a$ est arbitraire ; or on a $2^{z-1}={\frac {x}{2\mathrm {A} }},$ donc

$t_{z}=a^{\frac {x}{2\mathrm {A} }}+a^{-{\frac {x}{2\mathrm {A} }}},\qquad$ou$\qquad t_{z}=b^{x}+b^{-x},$

$b$ étant une constante arbitraire ; or cette constante peut être supposée une fonction quelconque de $\sin 2\pi z$ et de $\cos 2\pi z,$ et puisque $z=\mathrm {H} +{\frac {\operatorname {l} x}{\operatorname {l} 2}},\ \mathrm {H}$ étant une constante quelconque, on aura

$b=f\left(\sin 2\pi {\frac {\operatorname {l} x}{\operatorname {l} 2}},\ \cos 2\pi {\frac {\operatorname {l} x}{\operatorname {l} 2}}\right),$

partant la fonction de $x$ demandée est

$\left[f\left(\sin 2\pi {\frac {\operatorname {l} x}{\operatorname {l} 2}},\ \cos 2\pi {\frac {\operatorname {l} x}{\operatorname {l} 2}}\right)\right]^{x}+\left[f\left(\sin 2\pi {\frac {\operatorname {l} x}{\operatorname {l} 2}},\ \cos 2\pi {\frac {\operatorname {l} x}{\operatorname {l} 2}}\right)\right]^{-x}.$

Il s’agit enfin de trouver $f(x-y{\sqrt {-1}}),$ telle que l’on ait

$f(x+y{\sqrt {-1}})-f(x-y{\sqrt {-1}})=2\mathrm {M} {\sqrt {-1}}.$

En supposant $y=g+hx,$ on aura

$f\left[g{\sqrt {-1}}+x\left(1+h{\sqrt {-1}}\right)\right]-f\left[x\left(1-h{\sqrt {-1}}\right)-g{\sqrt {-1}}\right]=2\mathrm {M} {\sqrt {-1}}.$

Soit

${\begin{aligned}x\left(1+h{\sqrt {-1}}\right)+g{\sqrt {-1}}=&u_{z+1},\\x\left(1-h{\sqrt {-1}}\right)-g{\sqrt {-1}}=&u_{z}\,;\end{aligned}}$

on aura donc

$x={\frac {u_{z}+g{\sqrt {-1}}}{1-h{\sqrt {-1}}}}\,;$

donc

$u_{z+1}={\frac {1+h{\sqrt {-1}}}{1-h{\sqrt {-1}}}}u_{z}+{\frac {2g{\sqrt {-1}}}{1-h{\sqrt {-1}}}},$