Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/118

y substituant au lieu de $z$ sa valeur, on aura

$\mathrm {A} =\Gamma \left(\sin 2\pi {\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {mx}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}},\ \cos 2\pi {\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {mx}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}}\right).$

Donc

$y_{z}=f(mx)=\Gamma \left(\sin 2\pi {\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {mx}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}},\ \cos 2\pi {\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {mx}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}}\right)+p{\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {mx}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}}\,;$

ainsi la fonction de $x$ demandée est

$y_{z}=f(x)=\Gamma \left(\sin 2\pi {\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {x}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}},\ \cos 2\pi {\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {x}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}}\right)+p{\frac {\operatorname {l} \operatorname {l} {\cfrac {x}{m^{\frac {q}{q-1}}}}}{\operatorname {l} q}}.$

Il s’agit encore de trouver $f(x)$ telle que

$\left[f(x)\right]^{2}=f(2x)+2.$

On pourrait d’abord penser qu’il est impossible de satisfaire à cette équation, à moins que de supposer $f(x)$ égale à une constante ; c’est en effet ce qu’ont cru d’habiles géomètres (voir le second Volume des Mémoires de Turin, p. 320) ; mais on va voir qu’il y à une infinité d’autres moyens d’y satisfaire.

Soit

$u_{z}=x\qquad$et$\qquad u_{z+1}=2x\,;$

donc

$u_{z+1}=2u_{z}\qquad$et$\qquad u_{z}=\mathrm {A} 2^{z}=x.$

De plus, on a

$f(2x)=f(u_{z+1}),\qquad$que je désigne par$\qquad t_{z+1}$

et

$f(x)=f(u_{z})=t_{z}\,;$

on aura donc

$t_{z+1}=t_{z}^{2}-2.$